Unterschied Folgen und Funktionen?
Hey
Kann man sagen eine Folge bildet alle natürlichen Zahlen N auf eine Menge M ab während Funktionen alle reellen Zahlen R auf eine Menge M abbilden?
Oder gibt es andere Unterschiede von Folgen und Funktionen?
3 Antworten
Hallo,
im Prinzip ja. Während der Definitionsbereich bei Folgen die Menge der natürlichen Zahlen ist, handelt es sich bei Funktionen um einen Definitionsbereich aus der Menge R.
Bei Funktionen muß nicht jedes Element der Definitionsmenge einem Element aus der Wertemenge zugeordnet werden, wenn aber ein Element zugeordnet wird, darf es nur einem anderen und nicht mehreren anderen zugeordnet werden.
Deshalb ist die Funktion f(x)=√x auf den oberen Zweig beschränkt und das Wurzelzeichen definiert nur die positive Wurzel.
Hier ist auch der Definitionsbereich auf R≥0 beschränkt.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist meist eine Sache der Geschichte:
zuerst wird eine Zahlenfolge gefunden -> meist ganzzahlig: x ∊ ℕ
- Fibonacci-Folge http://oeis.org/A000045
- Fakultät http://oeis.org/A000142
... -> die einen eigennamen bekommen hat.
Dann finden schlaue Menschen später die explizite Funktion dazu, geben ihr einen Eigennamen -> und schon kann man auch reelle und komplexe Argumente der Funktion übergeben.
Fibonacci(0.5-0.3i)=0.61799375540900819391678..-0.46049245974310874..i
Fak(0.5-0.3i)!=0.850024244905838534523..-0.0124180830730562688656..i
Gute Rechner wie WolframAlpha &der Umkehrfunktionen Rechner
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
kennen sie (da man viele Funktionen per hypergeometrischer Funktionen auch mit komplexen Argumenten berechnen kann).
Ich kenne keine Funktion, die zwar für reelle Argumente, aber nicht für komplexe Argumente funktioniert.
Ob der Lehrer diese Funktion kennt, ist eine andere Frage (meist behaupten die, dass es sie nicht gäbe).
Laut https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)
ist Funktion nur "eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet." Da steht also nichts von "reell"
So gibt es auch die Primzahlfunktion:
f(x)=Prime(x), die die x. Primzahl ausgibt.
Hier wurde noch keine explizite Formel gefunden, sondern nur Summenformeln oder andere Algorithmen für ganzzahlige Argumente.
Prime(1000)=7919
Prime(1e24)= 58310039994836584070534263
Unter einer Folge versteht man eine Funktion, deren Urbild die Menge der natürlichen Zahlen ist.
Aber natürlich gibt es auch Funktionen, deren Urbild eine ganz andere Menge ist.