Logarithmus vs. Chauchy

Es geht um Mathematik an der Uni, Lernen auf Modulprüfung: BITTE wer es nicht 100% weiß NICHT ANTWORTEN!

Lieber die Frage unbeantwortet lassen. Danke! :)

Ich arbeite gerade eines meiner persönlich größten Rätsel auf: Warum divergiert der Logarithmus?

Meine Gedanken: Cauchy-Folgen konvergieren in R. Cauchy-Folgen sind Folgen, bei denen für eine beliebige Vorgabe ein N gefunden werden kann, sodass dass der Abstand zweier beliebiger Folgeglieder m und n größer als N kleiner als die Vorgabe werden. Ist dies beim Logarithmus nicht der Fall?

Der Abstand "scheint" zumindest gegen 0 zu konvergieren. Meine Überlegung: Die "Funktion" des Abstands ist streng monoton fallend und wird durch die definierte Metrik niemals kleiner als 0 werden. Dadurch ist der Abstand nach unten beschränkt und monoton fallend, daher besitzt er ein Infimum. Dieses sollte doch 0 sein. Falls es nicht 0 ist, was ist es dann? R ist vollständig, also müsste das Infimum (evtl Minimum) dann "ein wenig größer" als 0 sein? Was soll das für eine Zahl sein?

Wenn ich mir die harmonische Reihe anschaue, dann kann ich den Beweis glauben. Den verstehe ich und ich kann mir auch super vorstellen, warum die harmonische Reihe divergiert.

Aber beim Logarithmus?

Nächster Gedanke: Vll gibt es kein Problem bei n->unendlich sondern bei n-> null plus, weil dort die Abstände ja wirklich im Umkehrschluss beliebig groß werden. Allerdings ergibt sich nach meinem Verständnis kein Problem, denn das Cauchy-Kriterium besagt, dass für jedes epsilon ein N gefunden werden kann, sodass bei m und n größer N d(am, an) < epsilon ist. Das bedeutet doch, dass ich N auch gerade so wählen kann dass es zum Beispiel immer größer gleich 1 ist. Dann kann ich den ganzen negativen "gefährlichen" Teil des Logarithmus komplett ignorieren, und kann dort jegliche Widersprüchlichkeit vermeiden.

Wo ist mein Fehler? Bitte helfen :) Danke

2 Antworten

PWolff

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

11.05.2014, 21:57

Die Differenz von harmonischer Reihe und Logarithmus konvergiert tatsächlich für x → +∞, da der Logarithmus ja die Integralfunktion des Kehrwertes ist (da gibt es einen leicht zu beweisenden Satz, dessen Namen ich leider vergessen habe), und soweit ich deine Überlegungen verstanden habe, sind sie für m,n → +∞ auch richtig. Aber Minorantenkriterium wäre einfacher, denke ich.

Für x → 0 gilt dann

log(x) = -log(1/x)

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

PWolff

11.05.2014, 22:02

Sorry, hab jetzt erst verstanden, dass du das Cauchy-Kriterium auf den Logarithmus anwenden willst und nicht auf die Differenz von Logarithmus und Harmonischer Reihe.

MartinJ

Beitragsersteller

11.05.2014, 22:14

@PWolff

Ja, wie du selber sagst. Aber hey, super schneller Beweis dass der Logarithmus divergiert. Und über den Satz, dass in R konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind kann man ja auch argumentieren. Mir ging es um das Verständnis. Dennoch, echt, mega danke dafür :)

Ennte

11.05.2014, 20:59

Hallo,

es gilt:

log(x) - log(y) = log(x/y)

daraus folgt eben auch:

log(2N) - log(N) = log(2N / N) = log(2)

das heißt man findet für beliebig große N immer noch m, n >= N mit |log(m) - log(n)|=log(2). Also findet man für kein epsilon kleiner log 2 ein N, sodass das Cauchy-kriterium erfüllt ist. Also keine Cauchyfolge. Und mathematisch formulieren kann ich nicht mehr wie ich gerade merke. Aber das Problem sollte klar sein oder?

mfg
Ennte

MartinJ

Beitragsersteller

11.05.2014, 22:15

hilfreichste Antwort morgen ;)

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<-> 2 < Epsilon * (9n+10)        |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon   |:9*Epsilon
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<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon     | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2     | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2           | :(9n+10)
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streng monoton steigend, wenn: f‘(x) im Intervall >0
Sterne monoton fallend, wenn: f‘(x) im Intervall <0

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