was ist der Unterschied bei einem Rang einer Matrix und der Dimension?

2 Antworten

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iokii
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
im Thema Mathematik
12.09.2016, 10:18

Der Rang der Matrix ist gleich der Dimension des Bildvektorraums.

Eine Matrix hat keine Dimension.
Simonfragtjetzt 
Beitragsersteller
 12.09.2016, 10:35

danke! könntest du mir ein Beispiel sagen? also so verbal... wie zeige ich beides? dankeschön! da hab ich noch Probleme.... 
danke

kreisfoermig  13.09.2016, 12:09
@Simonfragtjetzt

Er hats schonmal erklärt. Seien V, W Vektorräume und T : V→W ein linearer Operator (dargestellt durch eine Matrix). Dann:

  • Dim(V) = |B|, wobei B ⊆ V eine linear unabhängige Basis für V. (Theorem: diese Definition ist von der Wahl der Basis unabhängig.)
  • Rang(T) = Dim(T(V)). Man beachte, dass T(V)⊆W ein Untervektorraum ist.

Beispiel: V = ℝ⁵ und W = ℝ⁴ und T = ein linearer Operator mit Matrixdarstellung A ∈ M(ℝ⁵, ℝ⁴). Dann gilt Dim(V)=5 und Rang(T)=Rang(A) ∈ {0;1;2;3;4}.

Eine Matrix (ein linearer Operator) hat keine Dimension, sondern der Rang basiert auf der Definition von Dimension (s. o.).