Wann ist die Dimension einer Matrix Nm*n und wann =Rang(M)?
Hier ist zB die Dimension mn. Das stimmt ja aber nicht in allen Fällen
Hier ist die Dimension ja 3 oder?
Hab nen Salat
2 Antworten
Ja, du hast da einen Salat.
Es geht um die Dimension der Vektorräume als Vektorräume, nicht um die Dimension einer Matrix.
Also: dim (M_m x n(K)) ist die Dimension des Vektorraums, der alle mxn Matrixen über K enthält.
Und dim Im (m_A) ist die Dimension des Bildes der linearen Abbildung m_A und diese Dimension ist gleich dem Rang der Matrix, also hier 3.
Das Bild ist ja ein Untervektorraum des R^3.
Wofür steht dieses Im()?
Erstmal ist die Dimension einer beliebigen 3×3-Matrix ja schon 9, weil du 9 Einträge unabhängig von einander verändern kannst. Der erzeugte Unterraum, wenn man die Matrix in einer Abbildung verwendet, kann aber natürlich eine andere Dimension (z.B. 3) haben.
Eine Matrix hat überhaupt keine Dimension - Vektorräume haben Dimensionen, so auch der Vektorraum der 3x3-Matrizen, der hat die Dimension 9, ja.