Dimension von Lösungsraum DGL?
Hallo folgende Frage:
Laut Lösung ist iii) richtig, jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen wie man darauf gekommen ist?
Muss man eine Gleichung mit Matrix aufstellen?
z.B. F=(y,y‘,y‘‘,y‘‘‘)
d/dx F = A F
wobei A eine Matrix ist. Aber wie kann man da die Dimensionen schnell erkennen?
1 Antwort
Es handelt sich hier um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Das charakteristische Polynom
hat nach
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
vier Nullstellen, zwei reelle und eine konjugiert komplexe. Damit hat die Differentialgleichung in der Theorie vier linear unabhängige Lösungen. Nun wird eine spezifische Anfangsbedingung (y''(1000) = 0) vorgegeben, also ein Freiheitsgrad weg genommen. Damit bleiben drei linear unabhängige Lösungen übrig.
also ein Freiheitsgrad weg genommen.
Was ist daran unverständlich? Was ist denn wenn du in einem vierdimensionalen Vektorraum eine Koordinate fest vor gibst? Wieviele Dimensionen hat dann der resultierende Unterraum?
Ah ok stimmt so macht das Sinn, habe falsch gedacht
Das macht soweit Sinn, aber irgendwie ist mir unklar warum es nach einer Anfangsbedingung nur noch drei linear unabhängige Lösungen gibt