Was ist der HDI (Mathe)?
5 Antworten
Der HDI ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Er gibt an, wie du die Fläche unter einem Graphen, also das Integral berechnest.
Die Formel kannst du im Bild und hier nochmal sehen:
Dabei ist f die Ausgangsfunktion, bei der du eine Fläche berechnest.
F ist die Stammfunktion der Funktion f (quasi die "Aufleitungsfunktion"). F abgeleitet ergibt demnach wieder f.
Mathematisch gesagt:
F'(x) = f(x)
Die Buchstaben a und b geben die Grenzen des Integrals an. Dabei ist a die untere und b die obere Grenze.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Mir ist er nur so bekannt, wie ich ihn genannt habe und so steht er auch auf der Webseite, die ich verlinkt habe.
In der Schule wird der Hauptsatz meistens "nur" zum Berechnen bestimmter Integrale verwendet - dies ist der "bekannte Teil" und vermutlich auch der, an dem der Fragesteller interessiert ist - da hast Du recht :)
Am Beispiel von f: [1,2] -> R, f(x) = x^2 moechte ich aber mal die Verbindung zum eigentlichen Hauptsatz aufzeigen, da ich sie doch sehr erhellend finde:
- F(x) := int_1^x t^2 dt ist eine Stammfunktion von f nach dem Hauptsatz.
- Da G(x) = 1/3 x^3 offenbar auch eine Stammfunktion ist, gilt (F-G)'(x) = F'(x) - G'(x) = 0. Da [1,2] zusammenhaengend ist, ist F-G konstant. Wegen F(1) - G(1) = 0 - G(1) = - G(1) gilt daher auf dem ganzen Intervall [1,2] die Beziehung F(x) = G(x) - G(1).
- Mit dieser Erkenntnis laesst sich nun das bestimmte Integral berechnen: int_1^2 f(t) dt = F(2) = G(2) - G(1).
Zusammengefasst: Der Hauptsatz besagt, dass die Integralfunktion eine Stammfunktion ist. Findet man eine weitere Stammfunktion, so kann sich diese von der Integralfunktion nur um eine Konstante unterscheiden; dies erlaubt einem dann die Berechnung des Integrals.
Das soll vermutlich für den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung stehen. Im Grunde besagt er, dass sich Integrale so berechnen lassen, wie du es in der Schule gelernt hast:
Du bildest eine Stammfunktion, setzt die Grenzen des Integrals ein und bildest die Differenz
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) sagt aus, dass sich Differenzieren und Integrieren verhalten wie Umkehrrechenarten.
Wenn du eine Ableitung integrierst, kommt wieder die alte Funktion heraus.
Erleichtert wird diese Betrachtungsweise durch die Kürzel
dy/dx sowie die Rechenvorschrift, dass sich ∫ d aufhebt.
"HDI" steht fuer den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Satz
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Typischerweise bezeichnet man die Aussage, dass jede stetige Funktion f: [a,b] -> R eine Stammfunktion besitzt, z.B. F(x) := int_a^x f(t) dt, als den "Hauptsatz". Die hier genannte Formel zur Berechnung bestimmter Integrale ist eher ein Korollar des Hauptsatzes.