Was ist der Grad der Körpererweiterung von Q[Wurzel 2 +Wurzel 3] über Q?
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rammstein53/1615404814643_nmmslarge__0_0_346_346_2e08198db203389692d6d8287572496d.png?v=1615404815000)
(wurzel(2) + wurzel(3) )^2 = 5 + 2*wurzel(6)
Damit ist 5 + 2*wurzel(6) Nullstelle des Polynoms
x^2 - 10x + 1
und (wurzel(2) + wurzel(3) ) Nullstelle des Polynoms
x^4 - 10x^2 + 1
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Der Grad von ℚ[√(2) + √(3)] über ℚ ist 4.
Man könnte das beispielsweise zeigen, indem man zeigt, dass x⁴ - 10x² + 1 das Minimalpolynom von √(2) + √(3) über ℚ ist, wobei dieses Minimalpolynom dann offensichtlich Grad 4 hat.
Du könntest auch zeigen, dass {1, √(2), √(3), √(6)} eine Basis des ℚ-Vektorraums ℚ[√(2) + √(3)] ist.
Oder, wie ich vorgehen würde: Du könntest zeigen, dass ℚ[√(2) + √(3)] = ℚ[√(2), √(3)] ist, und dann weiter zeigen, dass ℚ[√(2), √(3)] Grad 2 über ℚ[√(2)] hat, und dass ℚ[√(2)] Grad 2 über ℚ hat. Damit erhält man dann nach Gradsatz 2 ⋅ 2 = 4 für den Grad der Körpererweiterung ℚ[√(2) + √(3)] über ℚ.
[Edit: Ich hatte mich beim Minimalpolynom verschrieben und habe das jetzt noch schnell ausgebessert.]
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)