Was ist der Binomialkoeffizient?
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Info
Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k bestimmte Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Wikipedia
Der Binominalkoeffizent ist eine Rechenart, die vor allen Dingen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtig ist.
Damit lässt sich zum Beispiel ausrechnen, wie viele verschiedene mögliche Kombinationen an Lotto-Ziehungen im Spiel 6 aus 49 es gibt und damit auch, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, die richtigen Zahlen zu tippen.
Das Beispiel eignet sich sehr gut, um den Binominalkoeffizienten zu veranschaulichen. Es sind 49 verschiedene zahlen, von denen 6 zufällig ausgewählt wird. Allerdings spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden.
Geschrieben wird der Binominalkoeffizient, in dem man einfach die größere Zahl über die kleinere Zahl schreibt, wie bei einem Bruch, nur ohne Bruchstrich. Gesprochen wird das ganze dann zum Beispiel 49 über 6.
Wir können uns den Binominalkoeffizienten beim Lotto durch folgende Überlegung selbst herleiten. Es gibt 49 Möglichkeiten, welches die erste Zahl ist, die gezogen wird. Für jede dieser Möglichkeiten sind dann noch 48 Kugeln übrig und es gibt 48 verschiedene Möglichkeit. Es gibt also 49*48 Möglichkeiten, welches die ersten beiden Zahlen sind.
Da 6 Zahlen gezogen wird folgt daraus, dass es 49*48*47*46*45*44 verschiedene Möglichkeiten gibt.
Du kennst vielleicht die Schreibweise 4! (gesprochen: 4 Fakultät). Das Ausrufezeichen bedeutet, dass man alle Zahlen von 1 bis 4 multipliziert. Also 1*2*3*4.
In unserem Beispiel hätten wir 49! Möglichkeiten, wie die Zahlen aussehen können, aber wir ziehen ja nur 6 Zahlen. Die Zahlen von 1 bis 43 multiplizieren wir nicht mit.
Das heißt, wir rechnen 49! : 43!. Und da 43 sich ergibt, wenn wir 49 - 6 (49 Kugeln, 6 Möglichkeiten) rechnen, kann man auch schreiben 49! : (49 - 6)!
Jetzt müssen wir aber noch berücksichtigen, dass uns die Reihenfolge egal ist. Die 6 Zahlen, die wir ziehen können wir auf unterschiedliche Weise anordnen. Wir können eine der 6 Zahlen zufällig nehmen und als erste Zahl hinlegen. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Danach gibt es 5 Möglichkeiten für die zweite Zahl usw. Es ergeben sich also 6*5*4*3*2*1 Möglichkeiten und damit genau 6!
Wir teilen also das Ergebnis, das wir schon haben nochmal durch 6!
Was wir erhalten ist:
49! : ( (49-6)! * 6! )
Oder wenn wir statt konkreten Zahlen die Variablen n und k benutzen.
Dann ist n über k:
n! : ( (n-k)! * k! )
Solltest du dazu noch Fragen haben, darfst du sie gerne stellen.
Bitte finde die Antwort auf Seite https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomialkoeffizient.html .
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Gelegentlich sehr nützlich