Umformung (Summe mit Binomialkoeffizient)?

Hallo,

ich verstehe nicht, was bei der folgenden Umformung gemacht wurde.
Hat jemand eine Idee?

$1-\frac{1}{n+1}\sum_{k=2}^{n+1}\left(-1\right)^k\binom{n+1}{k}=1-\frac{1}{n+1}\left(-1+\left(n+1\right)\right)$

Answer 1

[MeRoXas]

Das ist sehr lästig. Ich versuche mal, meinen Weg so gut es geht zu dokumentieren.

Zunächst nehme ich eine kleine Manipulation vor. Aus k=2 mache ich k-1=1 Das mache ich, damit ich unten k=1 habe und in dem Binomialkoeffizienten eine ähnliche Struktur, nämlich n+1 und k+1 vorherrscht; ich will nämlich den binomischen Lehrsatz benutzen, und dieser erfordert eine solche Struktur:

$\sum_{k=2}^{n+1}\left(-1\right)^k\cdot\binom{n+1}{k}=\sum_{k=1}^{n+1}\left(-1\right)^{k+1}\cdot\binom{n+1}{k+1}$

Edit: Eigentlich müsste ich beim Indexshift auch n+1 anpassen. Warum das hier scheinbar nicht so ist, werde ich mal als eigene Frage einstellen: https://www.gutefrage.net/frage/weswegen-muss-ich-hier-nur-den-startwert-anpassen

Jetzt "ergänze" ich die Summe. Ich will, dass sie bei k=0 anfängt, um später den binomischen Lehrsatz zu benutzen. Also addiere ich den Wert für k=0, damit darf die Summe dann bei k=0 anfangen. Um nichts kaputt zu machen, muss ich diesen Wert auch wieder abziehen. Das ist das, was außerhalb der eckigen Klammer steht.

$=\left[\sum_{k=0}^{n+1}\left(-1\right)^{k+1}\cdot\binom{n+1}{k+1}\right]-\left(-1\right)^{0+1}\cdot\binom{n+1}{1}$

Jetzt sehe ich, dass ich hier fast den binomischen Lehrsatz benutzen kann. Es gilt ja nach dem Lehrsatz:

$\left(x+y\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot x^{n-k}\cdot y^k$

Insbesondere gilt für x=1 und n+1 anstatt von n:

$\left(1+y\right)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}y^k$

Jetzt vergleich die Summe da mal mit der Summe in der eckigen Klammer oben. Das sieht doch schon sehr ähnlich aus, nur haben wir nicht k, sondern k+1 in den Summanden, und nicht y, sondern -1.

Ich kümmere mich zuerst um das k. Das will ich auf k+1 bringen. Immer im Hinterkopf behalten, ich will auf den binomischen Lehrsatz hinaus. Für den Lehrsatz muss im Startwert und dem Binomialkoeffizient ja "das selbe", hier also k+1 stehen. Auf k+1 umzuformen, ist auch nicht schwierig; aus k=0 folgt doch auch k+1=1. Das sind äquivalente Ausdrücke! Ich ersetze also einfach k=0 durch k+1=1. Zudem rechne ich den Ausdruck außerhalb der eckigen Klammer nun aus; es ist n+1. Überprüfe das mal selber.

$=\left[\ \sum_{k+1=1}^{n+1}\left(-1\right)^{k+1}\cdot\binom{n+1}{k+1}\right]+n+1$

Sooo, fast geschafft. Die Summanden an sich in der eckigen Klammer passen jetzt. Aber der Anfangswert der Summe nicht! Wir müssten bei k+1=0 starten, um den binomischen Lehrsatz benutzen zu dürfen.

Es ist ja gemäß Lehrsatz

$\left(1+y\right)^{n+1}=\sum_{k+1=0}^{n+1}\binom{n+1}{k+1}y^{k+1}$

Die Summe in der eckigen Klammer startet also "eins zu spät". Das können wir beheben: Ich lasse die Summe da anfangen, wo ich sie haben will, indem ich wie oben dieses fehlende Glied addiere und es dann wieder abziehe. Das wäre hier das "minus erste" Glied, denn aus k+1=0 folgt ja k=-1. Also werte ich den Summenausdruck für k=-1 aus und ziehe ihn ab, um den Wert der Summe beizubehalten. Das findest du unten in der nächsten Zeile zwischen der eckigen Klammer und unserem bisher erhaltenen n+1 wieder:

$=\left[\sum_{k+1=0}^{n+1}\left(-1\right)^{k+1}\cdot\binom{n+1}{k+1}\right]-\left(-1\right)^{-1+1}\cdot\binom{n+1}{0}+n+1$ Endspurt! Unser "minus erste" Glied ist einfach 1, also wird 1 abgezogen. Rechne das selber nach. Insgesamt bleibt außerhalb der eckigen Klammer -1+n+1; oder wie bei dir -1+(n+1):

$\left[\sum_{k+1=0}^{n+1}\left(-1\right)^{k+1}\binom{n+1}{k+1}\right]-1+\left(n+1\right)$

Und jetzt kann ich endlich das machen, weswegen ich den ganzen Umformungskram überhaupt gemacht habe. Die eckige Klammer ist lediglich der binomische Lehrsatz

$\left(1+y\right)^{n+1}=\sum_{k+1=0}^{n+1}\binom{n+1}{k+1}y^{k+1}$

für y=-1.

Die Summe der eckigen Klammer ist also nix anderes als (1+(-1))^(n+1), und das ist 0. Ausführlicher:

$=\left(1+\left(-1\right)\right)^{n+1}-1+\left(n+1\right)=0^{n+1}-1+\left(n+1\right)=-1+\left(n+1\right)$

Soll insgesamt heißen: Deine Anfangssumme ist nichts anderes als -1+(n+1), so kommt die Unformung zustande.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[BassNation]

Vielen Dank für deine Antwort und deine Mühe. Du hast mir sehr weitergeholfen :)

Answer 2

[Aurel8317648]

$oder\ mit\ \sum_{k=0}^{n+1}(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}=0\ und$

$und\ \sum_{k=2}^{n+1}(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}=\sum_{k=0}^{n+1}(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}\ -\ \binom{n+1}{0}\ +\ \binom{n+1}{1}\ =\ n$

etwas ausführlicher:

$\sum_{k=0}^{n+1}​(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}=0$ ..... lässt sich leicht einsehen, siehe z.B. Pascalsches Dreieck

$nun:\ \sum_{k=2}^{ }​\left(...\right)\ =\ \sum_{k=0}^{ }​\left(...\right)\ -\left(...\right)_{bei\ k=0}\ -\ \left(...\right)_{bei\ k=1}$

also:

$\sum_{k=2}^{n+1}​(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}=\sum_{k=0}^{n+1}​(−1)^{k\ }\binom{n+1}{k}\ -​(−1)^{0\ }\binom{n+1}{0}\ -​(−1)^{1\ }\binom{n+1}{1}=$

$0\ -\ 1\cdot1\ -\ \left(-1\right)\left(n+1\right)=-1+\left(n+1\right)=n$

Comments

[Aurel8317648]

Habe oben noch etwas ausführlicher erläutert (ErgänzungI

Answer 3

[Aurel8317648]

$\binom{n}{k}​=\frac{n(n−1)⋅⋅⋅(n-k+1)​}{k!}$ betrache o.g. Formel

$z.B.\ \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}$

ich habs zwar nicht nachgerechnet, aber wegen

$\left(-1\right)^k$ wird dauernd addiert und subtrahiert, sodass viel wegfällt

rechne es mal für ein kleines n durch und halte Ausschau nach eine Muster

Answer 4

[Aurel8317648]

Betrachte das Pascalsche Dreieck:

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Rekursive_Darstellung_und_Pascalsches_Dreieck

für n gerade sieht man schnell dass

$\sum_{k=2}^{n+1}\left(-1\right)^k\ \binom{n+1}{k}$

= n

denn die Werte links und rechts der senkrechten Symmetrieachse des Pascalschen Dreiecks addieren sich zu Null (wegen (-1)^k) bis auf die 2 äußersten Rechten (da k erst bei 2 beginnt) und diese addieren sich zu n

für n ungerade verwendet man folgende Beziehung:

$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}\ +\ \binom{n}{k-1}$

und kann wieder (da n nun wieder gerade ist) das Wegfallen der Werte links und rechts der senkrechten Symmetrieachse (bis auf die 2 äußersten Rechten für k=2 bzw. bis auf das äußerste Rechte für k=1 bei k-1) des Pascalschen Dreiecks ausnützen

Für eine Beweis müsste man nun versuchen, diese Erkenntnis zu formalisieren