Was ist das Ergebnis dieser Summe?
Hallo, ich habe hier eine Summe und bin mir unsicher, wie ich hier vorgehen soll.
Meine einzige Methode ist eher Ausprobieren in Excel. Dort wäre der Grenzwert für die Summe 1,8, wodurch ich auf ein Ergebnis von 5555*1,8=9999 kommen würde.
Ist das richtig? Wie gehe ich hier mathematisch vor?
3 Antworten
Ein Exceltest ist hier nicht empfohlen, weil hier erstens eine Singularität passiert wird und zweites ist die Konvergenz von lediglich reziproken Zählern sehr mässig.
Aber es hilft, wenn man die Reihe einmal ausschreibt. Dann entdeckt man, dass immer der erste Term (1/n) sich mit dem letzten Term (1/[n+1]) des Vorgängers aufhebt.
Aber Vorsicht: Man marschiert hier ungebremst über eine Singularität vom Typ 1/0.
Es sind aber glücklicherweise gleich zwei. Anstandshalber ist hier eine kleine Grenzwertbetrachtung angeraten:
Es geht glimpflich aus. Auch dieses Glied liefert eine 0. Man kommt somit zu dem Ergebnis, dass allein das erste Glied die Summe bestimmt. Das letzte Glied konvergiert gegen 0. Multipliziert mit diesem Karnevalsfaktor kommt am Ende -1111 heraus.
Oftmals, aber nicht immer. Singularitäten müssen immer gesondert mit besonderer Sorgfalt untersucht werden.
Hallo,
das Ergebnis ist nicht definiert, weil n=0 in der Summe vorkommt und darin der Term 1/n. Um ein ordentliches Ergebnis bzw. einen Grenzwert zu bekommen, muß man schon ab n=1 beginnen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das hatte mich auch schon gewundert, weil auch für n=-1 ist kein Ergebnis definiert.
Bei n=-1 hast Du beim zweiten Term eine Division durch Null.
Wenn Du dagegen bei n=1 anfängst, bekommst Du hinter dem Summenzeichen
1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-...-1/n+1/n-1/(n+1).
Alle Glieder der Summe bis auf 1 und 1/(n+1) heben sich auf, so daß Du als Grenzwert für n gegen unendlich 1-0=1 herausbekommst.
Der mal 5555 ergibt 5555 als Gesamtsumme.
Für n = -1 und n = 0 ist diese Summe nicht definiert, da sonst die 0 im Nenner steht.
Schließt man n = -1 und n = 0 aus, lässt bspw. den Index bei n = 1 beginnen, so kann man dies als teleskopische Reihe hinschreiben und erkennen dass sich viele Terme wegkürzen.
Vielen Dank, das macht Sinn. Sobald ich also zwei (oder mehrere) Singularitäten in einer Reihe habe, kann ich oftmals den Grenzwert berechnen?