Was hab ich bei der Aufgabe falsch gemacht/ Partielle Integration?
6 Antworten
Da kann man auch zuerst eine Substitution durchführen :
u : = - 2 * p mit p = - (1 / 2) * u
Dann erhältst du das Integral.
∫ ( - (1 / 2) * u) ^ 2 * e ^ u * dp
Kannst du vereinfachen :
(1 / 4) * ∫ u ^ 2 * e ^ u * dp
Nun u ableiten :
du / dp = - 2
dp = - (1 / 2) * du
Das ins Integral einsetzen :
(1 / 4) * ∫ u ^ 2 * e ^ u * - (1 / 2) * du
Vereinfachen :
-(1 / 8) * ∫ u ^ 2 * e ^ u * du
Den Faktor - (1 / 8) kann man später berücksichtigen.
Jetzt kannst du sehr leicht eine partielle Integration durchführen :
s * t - ∫ s´ * t
s = u ^ 2
s´ = 2 * u
t = e ^ u
Also :
u ^ 2 * e ^ u - ∫ 2 * u * e ^ u * du
u ^ 2 * e ^ u - 2 * ∫ u * e ^ u * du
Das Integral ∫ u * e ^ u * du lässt sich erneut partiell integrieren :
s = u
s´ = 1
t = e ^ u
u * e ^ u - ∫ e ^ u * du
Und hier ist man bei einem elementaren Integral angekommen, dass man auswendig lernt, oder in einer Integraltafel abliest :
∫ e ^ u * du = e ^ u
Du hast dann also :
∫ u ^ 2 * e ^ u * du = u ^ 2 * e ^ u - 2 * (u * e ^ u - e ^ u)
∫ u ^ 2 * e ^ u * du = u ^ 2 * e ^ u - 2 * u * e ^ u + 2 * e ^ u
∫ u ^ 2 * e ^ u * du = (u ^ 2 - 2 * u + 2) * e ^ u + C
Also :
-(1 / 8) * ∫ u ^ 2 * e ^ u * du = - (1 / 8) * (u ^ 2 - 2 * u + 2) * e ^ u + C
Rücksubstitution :
u : = - 2 * p
- (1 / 8) * ((-2 * p) ^ 2 - 2 * (-2 * p) + 2) * e ^ (-2 * p) + C
- (1 / 8) * (4 * p ^ 2 + 4 * p + 2) * e ^ (-2 * p) + C
- (1 / 2) * (p ^ 2 + p + 1 / 2) * e ^ (-2 * p) + C
Kann man noch umschreiben :
- (p ^ 2 + p + 1 / 2) / (2 * e ^ (2 * p)) + C
Also :
∫ p ^ 2 * e ^ (- 2 * p) * dp = - (p ^ 2 + p + 1 / 2) / (2 * e ^ (2 * p)) + C
Deine Formel habe ich noch nie gesehen
Ich arbeite nach der Formel Integral(u*dv)=u*v-Integral(v*du)
ganz zum Schluß nach der Rechnung,die Integrationskonstante C anhängen.
bei dir f(x)=x²*e^(-2*x)
u=x² und dv=e^(-2*x)
u´=du/dx=2*x ergibt du=2*x*dx taucht also säter wieder hinter den Integralzeichen wieder auf
V=integral(e^(-2*x)*dx=(-1/2)*e^(-2*x) Integration durch Substitution
Formel F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´
z´=konstant und kann so vor das Integralzeichen gezogen werden.
Der erste Schritt stimmt. Beim der zweiten partiellen Integration solltest du wieder die Potenz ableiten und die e-Funktion integrieren.
Nun, der erste Term (uv) ist ja uninteressant, weil man ihn nicht weiter integrieren muss. Der zweite (int u'vdx) muss aber weiter integriert werden. Es wäre also schön, wenn u' einfacher wäre als u. Also wählt man die Potenz als u, denn u' ist dann einfacher als u (hat einen niedrigeren Exponenten).
hä :/ muss man nicht einmal den einen Faktor integrieren dann minus das andere wo der andere teil bzw faktor integriert wird
arbeiten wir mal mit x und f(x)
fangen wir mal klein an.
f(x)=x*e^(-2*x) Formel Integral (u*dv)=u*v-Int.(v*du)
u=x abgeleitet u´=du/dx=1 ergibt du=1*dx=dx
dv=e^(-2*x) integriert durch Substitution Formel F(x)=Inte.(f(z)*dz*1/z´
z=-2*x ergibt z´=dz/dx=-2 also dx=dz/(-2)
v=-1/2*Integral(e^z*dz)=
v=-1/2*e^(-2*x)
F(x)=x*(-1/2)*e^(-2*x)-Int((-1/2)*e^(-2*x)*dx)
F(x)=x*(-1/2)*e^(-2*x)-1/4*e^(-2*x)+C
Mach die Probe mit xu=0 und xo=4
A=obere Grenze minus untere Grenze
A=(f´(4)) - ( f´(0))=0,249.. FE (Flächeneinheiten) habe ich mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt.
mit f(x)=x²*e^(-2*x) muß man die Rechnung 2 mal durchführen
u=x² u´=du/dx=2*x du=2*x*dx
dv=e^(-2*x) ergibt v=(-1/2*e^(-2*x) haben wir gerade berechnet
F(x)=x²*(-1/2)*e^(-2*x) - Integral((-1/2)*e^(-2*x)*2*x*dx
F(x)=........+ Int,(x*e^(-2*x)*dx) haben wir eben berchnet
F(x)=x²*(-1/2)*e^(-2*x)+x*(-1/2)*e^(-2*x)-1/4*e^(-2*x)+C
Proberechnung mit xu=0 und xo=4
ergibt A=0,2465..FE
e^(-2*x) kann man nun noch ausklammer.
Den Rest schaffst du selber.
viel zu viel schreib und les , daher link
p^2 * e^(-2p) eingeben hier
https://www.integralrechner.de/
und dx auf dp ändern
steht dann so
hübsch da.
