Doppelte Partielle Integration -Wann?
Hallo,
kann mir jemand bitte sagen ,wann genau man deine doppelte partielle intergration machen muss?
ich habe immer in der schule gelernt, dass wenn der letzte glied noch ein x enthält ,man eine Partielle integration machen muss.
Nun verstehe ich nicht , wieso man hier bei deise aufgabe noch ein zweiten bzw drittes mal partielle integrieren muss.
doch steht 1log(x)^2 , wieso muss man das nochmal partiell integrieren?
3 Antworten
Es funktioniert ja offensichtlich. Und nach dem ersten Schritt ist man ja nicht fertig. Mit jeder partiellen Integration reduziert man den Exponenten von log(x) um 1, weil die Ableitung von log(x) einen Faktor 1/x bringt. Am Ende bleibt das bekannte Integral über log(x).
"Ableiten kann jeder Depp, Integrieren ist eine Kunst", hat einmal einer meiner Lehrer gesagt. Im vorliegenden Fall besteht die Kunst darin zu sehen, dass die partielle Integration zum Ziel führt. Ich denke nicht, dass es da eine allgemeingültige Regel gibt.
siehe Mathe-Formelbuch "Integrale der logarithmischen Funktionen"
Integral (ln(x)^n*dx=x*ln(x)^n- n*Integral(ln(x)^(n-1)*dx mit n ungleich (-1)
und Integral(ln(x)*dx=x*ln(x)-x=x*(ln(x)-1
oder auch
Integral(sin^n(c*x)*dx=sin^(n-1)(c*x)*cos(c*x)/(n*c)+(n-1)/n*Int.((sin^(n-2)(c*x))*dx
Wenn die 1.te pratielle Integration nicht aufgeht,dann bleibt da
Integral (f1(x)*f2(x)*dx
f1(x) *f2(x) kann dann nicht zusammengefaßt werden zu der Form
Integra( f(x)*dx)
Wenn man bei der ersten partiellen Integration ein einfacheres Integral zurückbekommt, auch wenn es immer noch ein Produkt ist, kann man die Hoffnung haben, dass eine zweite oder evtl. auch dritte partielle Integration etwas übriglässt, was einfach zu integrieren ist.
Man muss dann aber auch zusehen, die Übersicht nicht zu verlieren, also auch den Zwischenergebnissen Namen wie Ｉ₁ , Ｉ₂ usw. geben!
Das sieht man dem Anfangsintegral nicht an. Man kann nur darauf hoffen (wie weiland bei den Polynomdivisionen, als man bei einem höheren Funktionsgrad auch hoffte, die Linearfaktoren richtig vorfinden zu können, - dass also der Aufgabenersteller die Schüler*innen nicht ärgern wollte).
Wenn die Integrale komplexer werden, kann man sicher sein, dass man f und g' vertauschen muss. Pech gehabt! Nochmal von vorn!