Was bedeutet f(x+2)=f(x)+x+2,x€R und was ist f(0)?
Das ergenis soll 3 sein, aber ich verstehe irgendwie die aufgabe nicht. Was ist mit der ersten zeile gemeint und wie kommt aus f(0) 3 raus?
3 Antworten
Zunächst: f(x) bedeutet: der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
Demanch bedeutet f(0) der Funktionswert, wenn man für x = 0 einsetzt.
f(x+2) gibt den Funktionswert an der 2 Einheiten rechts von x liegt.
Setze doch einfach x=0 und (2) in (1) ein:
5 = f(0) + 0 + 2
Die Funktion f ist nicht näher bekannt. Man weiß nur, dass sie die Gleichungen (1) und (2) erfüllt. Sie auszurechnen wäre schwierig, und es gibt sowieso viele Funktionen, die diese Gleichungen erfüllen.
Macht aber nichts: Gleichung (1) gilt für jedes beliebige x∊ℝ. Damit kann man aus einem bekannten Funktionswert f(x) den Wert zwei dahinter f(x+2) berechnen. Und aus diesem dann den Wert f(x+4) usw. f(2)=5 ist ja gegeben, also kennt man auch:
f(4)=f(2)+2+2= 9;
f(6)=f(4)+4+2=15;
f(8)=f(6)+6+2=23;
...
Das geht natürlich auch rückwärts: Kennst Du den Wert f(x+2) auf der linken Seite für irgendein x, kannst Du daraus den Wert f(x) zwei davor berechnen. Dazu muss man nur die Gleichung umstellen nach f(x)=f(x+2)-x-2:
f( 0 )=f( 2 )- 0 -2=3;
f(-2)=f( 0 )-(-2)-2=3;
f(-4)=f(-2)-(-4)-2=5;
...
Andere Funktionswerte, etwa f(1) kannst Du aus diesen Angaben nicht bestimmen. Aber danach wird ja zum Glück nicht gefragt.
f(x+2) = f(x) + x + 2 | subtrahiere x und 2
f(x) = f(x+2) – x – 2 | setze x = 0
f(0) = f(2) – x – 2 | da f(2) = 5
f(0) = 5 – x – 2 = 3
Kannst du mir das kurz näher erläutern? Wieso darf man (2) in (1) einsetzen? Ich versteh den prozess nicht ganz...