Was an Siebzehneck so besonders?
Ich lese gerade eine Biographie über Carl Friedrich Gauß, den Mathematiker (1777-1855) . Es wird darin erzählt, dass er als 19-jähriger einen Weg gefunden hat, ein 17-Eck zu konstruieren. Ich verstehe nicht ganz, was daran eine SOO bahnbrechende Idee gewesen sein soll. Danke schon mal im Voraus!
8 Antworten
Ich vermute, dass es vor ihm noch niemand geschafft hatte, ein regelmäßiges 17-Eck mit Zirkel und Lineal zu konstruieren, wahrscheinlich war noch nicht einmal bekannt, ob dies überhaupt möglich ist.
17 ist eine Primzahl, und für solche Eckenzahlen sind die Konstruktionen (außer bei 3 und vielleicht noch bei 5) höchst kompliziert, zu einen guten Teil sogar mit den "klassischen Mitteln der Geometrie" (also ohne Messen und Rechnen, nur mit Zirkel und Lienal) komplett unmöglich.
Das besondere war, dass Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels exakt berechenbar ist: cos(2Pi/17)=sin(13Pi/34)
=[sqrt(17)-1+sqrt(34-2sqrt(17))+sqrt{68+12sqrt(17)+2(sqrt(17)-1)sqrt(34-2sqrt(17))-16sqrt(34+2sqrt(17))}]/16
und damit auch zeichenbar. Siehe http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm
(Winkel rad in Grad: 13Pi/34=1170/17°)
auch eine Nullstelle von
256x^8+128x^7-448x^6-192x^5+240x^4+80x^3-40x²-8x+1 !!!
dort auch der LINK zu Wikis Beschreibung des 17-Eck
also Seitenlänge auch bestimmbar!
Es ist relativ kompliziert so eines zu zeichnen, da es nicht symmetrisch ist. Ich persönlich würde es jedoch in einem Kreis mit Winkeln und so berechnen. Das müsste dann ziemlich leicht gehen.
Es geht hier um Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Da Winkel sich leicht halbieren lassen, lassen sich leicht alle regelmäßigen Vielecke mit einer Zweierpotenz als Ecken konstruieren.
Ebenso lassen sich z. B. aus dem Dreieck das Sechseck und das Zwölfeck konstruieren.
Aber es gibt (vermutlich) nicht viele regelmäßige Vielecke mit ungerader Eckenzahl, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen.
Das Dreieck ist noch ziemlich leicht, das Fünfeck geht noch. Das regelmäßige Siebeneck lässt sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren, ebensowenig das Neun-, Elf- und Dreizehneck.
Das Fünfzehneck lässt sich als Überlagerung von Dreieck und Fünfeck konstruieren. Ebenso jedes andere regelmäßige Vieleck mit einer ungeraden Anzahl von Ecken, die sich als Faktor von Eckenanzahlen konstruierbarer Vielecke darstellen lässt.
Von daher ist es wirklich eine Besonderheit, dass das Siebzehneck sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.
Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon
Wenn du Englisch verstehst, ist dieses Video toll: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8&ab_channel=Numberphile
