Warum wurde dei Stetigkeit hier so geprüft (Mehrdimensionale Funktion?
Ich versthe, dass man y 1 setzt und x gegen 1, aber der Rest? Warum, wenn ich y=1 setze und x gegen 1 und das zeige, dann sollte das doch ausreichnen oder? ALso für y=1 und x->1 ist es gleich 1, aber der Rest ist mir unklar...
Warum, wenn ich y=1 setze und x gegen 1 und das zeige, dann sollte das doch ausreichnen oder?
Warum sollte es ausreichen?
Ich will zeigen, dass die Stetigkeit bei geteilt durch 0 nicht existiert. Da reicht es doch das 1x zu zeigen oder?
1 Antwort
Die Funktion könnte ja immer noch im Punkt (1,1) oder im Punkt (0,0) stetig sein. In Richtung der x-Achse ist die Funktion in diesen Punkten ja stetig, also müssen wir z. B. andere Folgen, die gegen diese Punkte konvergieren, betrachten, um Unstetigkeit nachzuweisen.
Für JEDE Folge von Paaren (x_n, y_n), die gegen (1, 1) konvergiert (und wo die Funktionswerte überall definiert sind), muss die Folge der zugehörigen Funktionswerte gegen f(1, 1) konvergieren.
Es gibt gewisse Vereinfachungen, insbesondere, dass für bestimmte Arten von Funktion die Betrachtung bestimmter Arten von Folge ausreicht.
Was genau beim Punkt (1, 1) als Funktionswert herauskommt, ist ziemlich egal. Stetigkeit bezieht sich ja immer auf Umgebungen eines Punktes, also bei ausgedehnten, kontinuierlichen Definitionsbereichen auf unendlich viele Punkte.
Weil für y=1 f(x,y) für x->y konvergiert, für andere Werte von y (außer 0) aber nicht, brauchen wir hier eine gesonderte Untersuchung.
Für einen Beweis ist es oft übersichtlicher, zuerst die Ausnahmen zu behandeln.
Didaktisch ist das nicht besonders geschickt - hier wäre es sinnvoller, den Weg nachzuvollziehen, den man gegangen ist, um auf die Lösung zu kommen.
Dass der Fall x=y ein Sonderfall ist, sieht man sofort daran, dass hier der Nenner 0 wird.
Wenn man diesen Fall untersucht, kommt man auf die allgemeinere Lösung im 2. Absatz von b). Allerdings muss man darauf achten, ob die Divergenz auch für alle y gilt - und das tut sie für y=1 eben nicht. (l'Hospital oder ln(1+epsilon) = O(epsilon))
Aber was muss beim Punkt (1,1) als Ergebnis rauskommen, damit ich dort Stetigkeit hbae?