Warum wird Epsilon kleiner, definiton der Konvergenz?

3 Antworten

Die Definition für Konvergenz gegen g lautet: Für alle ϵ > 0 existiert ein N, sodass für alle n ≥ N gilt |aₙ - g| < ϵ.

Wenn es jetzt für ein ϵ₁ so ein N gibt mit |aₙ - g| < ϵ₁ für alle n ≥ N und man dann ein größeres ϵ₂ wählt, folgt direkt |aₙ - g| < ϵ₁ < ϵ₂ für alle n ≥ N. Wenn ich also gesehen habe, dass die Bedingung für ein ϵ₁ erfüllt ist, ist es klar, dass die Bedingung auch für größere ϵ erfüllt ist. Interessant ist nur, ob sie auch für kleinere erfüllt ist. Wenn sie also für alle ϵ erfüllt sein soll genügt es, wenn sie für alle ϵ aus einer gegen 0 gehenden Folge erfüllt ist.

Die abgebildete Tabelle ist etwas umgekehrt. Eigentlich wird ein ϵ vorgegeben und dazu soll es ein N geben. Aber hier gibt wird einem n ein aₙ und ein ϵ zugeordnet. Die Tabelle passt sogar nicht ganz zur Definition. Die dargestellte Folge soll ja gegen 1 konvergieren. Wenn ich jetzt n=1 wähle ist |2 - 1| < 1 offensichtlich falsch. In dem Beispiel sind die ϵ anscheinend nur die Abstände bzw. die Suprema der Abstände der Restfolge. Weil die Folge streng monoton ist, werden die Abstände auch immer kleiner. Wenn ich aber eine Folge hätte, die zuerst noch steigen würde, wie 1; 2; 3; 2; 1,5; 1,3...; 1,25; ..., wären die Abstände ϵ = 0, 1; 2; 1; 0,5; ..., aber die Suprema der Abstände wären ϵ = 2; 2; 2; 1; 0,5; ... Diese Folge ist immer monoton fallend.

Wenn man bei der Konvergenz-Bedingung für ɛ nur Werte ≥1 berücksichtigen würde, dann würden viele Folgen diese Bedingung erfüllen, obwohl sie gar nicht konvergent sind.

Bsp:
Eine Folge, die nur abwechselnd die Werte 0 und ½ annimmt, also
0, ½, 0, ½, 0, ½, 0, ½,...
Die ist nicht konvergent, das sieht man auf den ersten Blick.

Aber wenn ich mit der Konvergenz-Bedingung prüfen würde, ob 0 ein Grenzwert dieser Folge ist, dann wäre die Konvergenz-Bedingung für ɛ ≥1 immer erfüllt, denn:

│0 - 0│ ist <1 und │½ - 0│ ist <1

obwohl die Folge NICHT gegen 0 konvergiert.

Die Konvergenz-Bedingung funktioniert bei desem Bsp erst dann richtig, wenn man ɛ<½ wählt, denn dann ist die Bedingung nicht mehr erfüllt und es ist bewiesen, dass die Folge nicht gegen 0 konvergiert.

Grundsätzlich ist die Konvergenz-Bedingung bei große Werten für ɛ nicht sehr aussagekräftig. Interessant wird's erst wenn ɛ winzig klein wird.


oij83 
Beitragsersteller
 16.04.2022, 18:28

Okay, für jedes epsilon nagut. Aber wenn ich nun mein Epsilon 0,5 wähle und ich habe hier: |a_n-a|=0,7 dann ist das ja größer als Epsilon und für 0,5 wäre die Gegebenheit nicht mehr gegeben? Trotzdem kann doch die Folge konvergent sein

Von Experten Jangler13 und Willy1729 bestätigt

Weil es beim Nachweis der Konvergenz heißt "Für _jedes_ epsilon größer Null... " und nicht "Für _irgendein_ epsilon größer Null...".

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

oij83 
Beitragsersteller
 16.04.2022, 18:07

Okay, für jedes epsilon nagut. Aber wenn ich nun mein Epsilon 0,5 wähle und ich habe hier: |a_n-a|=0,7 dann ist das ja größer als Epsilon und für 0,5 wäre die Gegebenheit nicht mehr gegeben? Trotzdem kann doch die Folge konvergent sein

PhotonX  16.04.2022, 18:24
@oij83

Dann hast du eben ein n gewählt, das zu dem epsilon unpassend ist. Du brauchst ein N, bei dem |a_n-a|<0,5 ist für alle n>N.