Warum weicht mein winkel ab, wenn ich den gleichen winkel mit sin, cos und tan berechne?
beispiel:
sin(alpha) = 4,2/7,4
cos(alpha) = 6.1/7.4
tan(alpha) = 4.2/6.1
auch wenn ich diese Werte die hier rauskomme NICHT runde, sondern direkt mit ANS in die umkehrfunktion einsetze, kommt das hier raus:
winkelalpha (mit sin berech.) = 34.60 Grad
winkelalpha (cos) =34.48 Grad
winkelalpha (tan) = 34.55 Grad
ich weiss die abweichung ist minimal, aber wenn Mathe absolut ist sollte doch 1:1 der gleiche Wert rauskommen?
4 Antworten
Du liegst auf vielen Ebenen falsch.
Schon die Seitenlängen des - notwendigerweise - rechtwinkeligen Dreiecks sind gerundet.
Und: natürlich sind auch die Ergebnisse des Taschenrechners gerundet, da dieser mit einer endlichen Anzahl von Stellen arbeitet.
Zudem sind auch die Berechnungen der Winkelfunktionen im Taschenrechner nur (sehr genaue) Näherungswerte. Die meisten Rechner berechnen die Winkelfunktionen mittels Reihenentwicklung. Diese Reihen liefern das exakte Ergebnis, wenn man ALLE ihrer unendlich vielen Summanden addiert.
Ein Taschenrechner bricht diese Berechnung ab, sobald eine ausreichende Genauigkeit erreicht ist.
Dann berechnet der TR die Winkel im Bogenmaß und rechnet dann in Grad um. Im Umrechnungsfaktor steckt pi drinnen - eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. Auch diese "kennt" dein TR nur "ungefähr"
Also: es SIND Rundungsfehler. Und zwar eine Menge
Die Berechnung der Umkehrfunktion erfolgt auf numerischen Wege (iteratives Verfahren). Alle numerischen Verfahren sind mit Fehlern behaftet. Die Numerische Mathematik ist in diesem Zusammenhang keine exakte Mathematik. Deine Ausgangswerte haben nur 1 Nachkommastelle. Somit kann man auch kein Ergebnis mit höherer Genauigkeit erhalten.
Ich habe deine Werte in die Umkehrfunktionen gefüttert und erhalte für die Winkel
d.h. auf der 1. Nachkommastelle sind die Werte gleich, mehr kann man nicht verlangen... es sei denn, deine Ausgangswerte haben mehr Nachkommastellen.< Wenn sich nun meine Werte von Deinen unterscheiden, dann wahrsch. deshalb, weil die verwendeten Umkehrfunktionen unterschiedlche Algorithmen verwenden.
Deine Daten sind nicht richtig. Angenohmen, 7,4 ist richtig, dann ist
4,2^2 + 6,1^2 <> 7,4^2
Ausserdem, das sind irrationale Zahlen, d.h. die Genuaigkeit ist nie 100%.
Die Hypotenuse ist etwa 7,406 statt 7,4 lang. Das kann solche Abweichungen erklären.
Okay, ein anderer user meinte auch das es daran liegt, das manche brüche irrational sind, also nicht als ganze zahl geschrieben werden können,.
Wenn ich also ein exaktes ergebnis haben wollen würde, bräuchte ich gerade seitenlängen und seitenverhältnisse die als ganzzahl ausgedrückt werden können?
z.B 4/2 = 2
Du arbeitest mit Rundungsdifferenzen, da ist es doch natürlich, dass du geringfügig abweichende Ergebnisse bekommst.
Wenn ich z. B. die Hypotenuse berechne und voraussetze, dass die Katheten exakt 4,2 und 6,1 cm lang sind, bekomme ich als Ergebnis 7,40607858451 cm für die Hypotenuse. Das ist bereits leicht gerundet!
Wenn du damit nun rumspielst:
sin(alpha) = 4,2/7,40607858451 ~ 34,54836706°
cos(alpha) = 6.1/7,40607858451 ~ 34,54836705°
tan(alpha) = 4.2/6.1 ~ 34,54836706°
Wie du siehst, sind alle 3 Ergebnisse extrem nah bei einander. Wenn man mit gerundeten Ergebnissen arbeitet, sind die Rundungsdifferenzen nicht zu unterschätzen!
Die daten kommen direkt aus einem Schulbuch, ausserdem würden ja sonst nicht (Fast) die gleichen Zahlen rauskommen.
Heisst das, wenn ich immer genau das gleiche ergebnis haben möchte, dann müsste ich die Seitenverhältnisse auch mit ganzen zahlen ausrücken können?
z.B = 4/2 = 2