Warum stimmt die folgende Behauptung?
Die Summe von 4 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen (21, 23, 25, 27) ist durch 8 teilbar.
Warum ist dies so?
Und warum klappt es nicht bei 5, 6, 7, 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen?
6 Antworten
Weil in diesem Fall die Quersumme mit 6 (16) endet - die 2. Ziffern addiert ergeben 16. Die Summe von 4 aufeinander folgenden ungerade Zahlen ist also durch 4 teilbar.
bei 5 aufeinander folgenden Zahlen ist die Quersumme ungerade und da es in einer Zehnerreihe nur 5 ungerade Endziffern gibt, kann es auch nicht mehr passende geben.
(sehr ummathematisch asgedrückt, ich weiß).
Aber bei 6 aufeinander folgenden Zahlen, wäre es duch 6 teilbar, bei 7 durch 7......
du hast:
x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 4x +12 = 4 ( x + 3)
Und das ist offensichtlich durch 4 teilbar.
Es geht um die Teilbarkeit durch 8!
Da aber in deiner Ausführung (x+3) immer eine gerade Zahl ist (weil x ungerade ist), stimmt es trotzdem.
Eine ungerade Zahl stellen wir als 2n + 1 mit n ∈ ℕ dar.
Damit können wir deine Behauptung algebraisch darstellen:
2n + 1 + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7), was vereinfacht 8n + 16 entspricht.
Und da 8n + 16 = 8(n + 2), ist das logischerweise durch 8 teilbar → q.e.d
Und warum klappt es nicht bei 5, 6, 7, 10 aufeinander folgenden ungeraden Zahlen?
Das kannst du ebenso herausfinden. Stelle einen Term auf und vereinfache.
LG Willibergi
Vier aufeinander folgende ungerade Zahlen lassen sich ausdrücken als:
2*n + 1 // n ganzzahlig
2*n + 3
2*n + 5
2*n + 7
Summe: 8*n + 16
Dies durch 8 geteilt ergibt n +2
da n ganzzahlig ist, ist das Ergebnis immer eine ganze Zahl!
bei 5 Zahlen hättest du als Summe
10 * n + 25 -> das ist eine ungerade Zahl, kann also nicht durch 8 teilbar sein.
Bei 8 müsste es wieder klappen.
hast recht es klappt, danke
aber warum klappt es bei acht wieder?
Acht hintereinanderfolgende, ungerade Zahlen sind ja nichts anderes als 4 aufeinanderfolgende, ungerade Zahlen und nochmals 4 aufeinanderfolgende, ungerade Zahlen.
Du hast also 2 Summen von der jede durch 8 teilbar ist, somit muss auch die Gesamtsumme durch 8 teilbar sein.
was meinst du mit (16)? @Blindi56