Warum sind beim Gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich groß (bitte mit Begründung)?
Bitte mit Begründung!!!
7 Antworten
Bei allen gleichseitigen (regelmäßigen) Figuren sind alle Winkel gleich groß! Für das Dreieck kann man es so begründen: Man benötigt immer 3 Angaben: SSS; SWS; WSW für kongruente Dreiecke. In der Folge käme WWW, was aber für ähnliche Dreiecke steht. WWW in Verbindung mit S1=S2=S3 würde logisch auch W1=W2=W3 sein.
Brauchst dir ja nur zum Beispiel den Sinussatz anschauen:
sin α / a = sin β / b = sin γ / c
Wenn jetzt a = b = c gilt, dann muss sin α = sin β = sin γ sein und das bedeutet im Intervall [0;180), dass α = β = γ sein muss.
Das lässt sich zeichnerisch beweisen, liegt aber so sehr auf der Hand, dass man es für selbstverständlich nimmt:
alle drei Seiten gleich, also auch alle drei Winkel gleich,
Wenn man jetzt die Winkelsumme im Kopf hat (180°), weiß man, dass jeder Winkel 60° haben muss. Teilt man so ein Dreieck in zwei Hälften, erhält man zwei gleich große rechtwinklige, mit denen man stundenlang "Pythagoras" spielen kann.
Das wird dann in der Schule auch gern gemacht, (Die kurze Kathete ist a/2, wenn a die Seitenlänge ist.)
sin(α) : sin(ẞ) : sin(ɣ) = a : b : c
a = b = c → sin(α) = sin(ẞ) = sin(ɣ) → α = ẞ = ɣ
Mit α+ẞ+ɣ = 180° folgt: α = ẞ = ɣ = 60°
Gruß, H.
Ich konstruiere mein gleichseitiges Dreieck indem ich mit meinem Zirkel einen halben Kreisbogen mit Radius 5 cm ziehe. Dann lege ich eine Strecke fest indem ich mit dem Geodreieck oder Lineal eine Gerade durch Mittelpunkt (A) und Kreisbogen ziehe, Kreismittelpunkt und Schnittpunkt auf dem Kreisbogen ist meine erste Strecke, den Schnittpunkt von Kreisbogen und Gerade (Punkt B) nehme ich und schlage mit Radius 5cm einen erneuten Kreis der meinen ersten Kreisbogen schneidet (Punkt C ... ein Schnittpunkt genügt ), nun verbinde ich B mit C und C mit dem ursprünglichen Kreismittelpunkt A und nun steht mein gleichseitiges Dreieck.
Sodann trage ich auf der Strecke AB die Höhe oder hier auch Mittelsenkrechte ein.
Das gleichseitige Dreieck zerfällt in zwei Unterdreiecke die ich durch Achsenspiegelung an der Mittelsenkrechten (gleich Höhe) ineinander überführen kann, diese Unterdreiecke sind deckungsgleich/ kongruent; mithin sind schon mal zwei Winkel gleich.
Das gleich Spiel wiederhole ich mit den beiden übrigen Mittelsenkrechten der anderen Dreieckseiten und auch hier sind immer die Unterdreiecke zueinander kongruent, das Ergebnis kann dann nur sein, dass alpha gleich beta gleich gamma (weil immer zwei Winkel gleich sind; alpha gleich beta; dann beta gleich gamma, daraus folgt schon, dass gamma gleich alpha ist denn gamma ist ja genauso groß wie beta - so dass in der Darlegung vermutlich bereits zwei Mittelsenkrechten ausreichend sein müssten)
Wenn ich dann noch weiß dass jedes Rechteck oder Quadrat die Winkelsumme von 4 rechten Winkeln hat ( 4 x 90 Grad), jedes Rechteck aber durch einen Diagonalstrich in zwei Dreiecke geteilt werden kann, so sehe ich durch Drehung der Dreiecke, dass auch sie kongruent /gleichgross sind und das zumeist ein Winkel gleich (90 grad) und zwei Winkel eben genau halb so groß wie ein rechter sind, daher ergibt sich für ein Dreieck immer eine Winkelsumme von 180 Grad.
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich gross, so ergibt sich, dass jeder 1/3 der gesamten Winkelfläche - also 60 Grad abbildet.