Warum muss man "natürliche Zahlen" so umständlich definieren?
Ich meine, warum kann man nicht einfach sagen: "Natürliche Zahlen sind alle ganzen positiven Zahlen (ganze Zahlen ohne Vorzeichen "Minus") und die Null"? Das wäre doch auch wahr und unverwechselbar, oder?
4 Antworten
Erstmal ist das keine Definition im üblichen Sinne, sondern ein Axiomensystem. Das ist ein Unterschied, weil hier nichts definiert, sondern einfach postuliert wird. Mit anderen Worten: Diese fünf Dinge gelten einfach ohne Beweis.
Warum man das so und nicht anders macht, liegt schlicht am Formalismus. Die natürlichen Zahlen sind ein fundamentaler Part der Analysis und benötigen deshalb umso mehr eine präzise, klare "Definition". Allerdings lassen sich Dinge natürlich nur auf Basis anderer bereits vorher definierter Dinge definieren, aber irgendwann ist man einfach am Anfang und kann sich auf nichts mehr beziehen - und hier kommen die Axiome ins Spiel.
Deine Definition ist auch möglich, allerdings müsstest du dann vorher definieren, was ganze Zahlen sind (und damit insbesondere den Begriff Vorzeichen) und dabei beißt sich die Katze in den Schwanz. Stell dir vor, du stehst ganz am Anfang der Mathematik, kannst dich auf nichts (zumindest fast nichts außer Mengenlehre und Abbildungen) beziehen und möchtest formal sauber definieren, was natürliche Zahlen sind. Das ist erstmal gar nicht so einfach und vor genau demselben Problem stand auch Peano.
Es führt kein Weg dran vorbei, einige "Grundwahrheiten", Axiome einfach anzunehmen, aus denen sich dann alles (und damit meine ich wirklich alles) andere herleiten und konstruieren lässt. Allerdings sind die fünf Peano-Axiome natürlich auch nicht zufällig gewählt, sondern sind
- komplett, d.h. alle bekannten Rechenregeln sind daraus ableitbar,
- widerspruchsfrei, d.h. es kann nicht sein, dass daraus eine Aussage und ihre Negation abgeleitet werden kann,
- unabhängig, d.h. keines der Axiome kann weggelassen werden bzw. keines der Axiome kann aus den anderen hergeleitet werden
und wenn man sich diese drei Eigenschaften mal auf der Zunge zergehen lässt, kann man durchaus erkennen, dass sie notwendig für eine vernünftige Konstruktion der natürlichen Zahlen sind. Aus diesen fünf Axiomen kann man aber die ganzen, rationalen, reellen, komplexen, hyperkomplexen, hyperreellen, etc. Zahlen konstruieren - und zwar als wirkliche, nicht-axiomatische Konstruktion. Aber es bleibt eben dabei, dass man für die Basis, die natürlichen Zahlen, einige Dinge einfach annehmen muss, um andere Zahlsysteme darauf aufzubauen.
Der Punkt ist wirklich einfach, dass wir ohne großartig irgendetwas verwenden zu können ein Zahlensystem formal definieren bzw. konstruieren müssen, sodass wir darauf sauber andere Bereiche aufbauen können. Und natürlich können wir die natürlichen Zahlen einfach als die nicht-negativen, ganzen Zahlen definieren, aber dann müssen wir uns vorher natürlich wieder fragen, was denn ganze Zahlen überhaupt sind. Die müssten wir dann wieder durch ein solches Axiomensystem definieren, damit das Konstrukt nicht zusammenstürzt.
Um zu verstehen, was man daraus machen kann, kannst du dir ja mal die beiden Fragen anschauen:
https://www.gutefrage.net/frage/ist-es-bewiesen-dass-11-2-ergibt
https://www.gutefrage.net/frage/kann-man-mathematisch-beweisen-dass-224-ist
Beide drehen sich um Beweise vermeintlich offensichtlicher Identitäten, die aber formal erst aus den Peano-Axiomen hergeleitet werden müssen: Und das geht. 1+1=2 folgt mehr oder weniger direkt aus einem Peano-Axiom, bei 2+2=4 wird es spannender, weil dabei tatsächlich etwas zu beweisen ist.
LG
Nein, das klappt leider nicht. Denn was ist "positiv"?
Die natürlichen Zahlen müssen logischerweise vor der Definition von positiv und negativ definiert sein.
Anfangs habe ich mich auch über Körperdefinitionen und Beweise für Addition etc. geärgert, aber wenn es dann in die Beweise geht, muss es exakt-präzise sein. Und die Definition von Peano ist wichtig für sehr viele Beweise im elementaren Bereich der Mathematik, die dann aber auch in "fortgeschritteneren" Bereichen relevant werden. Unterschätze das nicht.
Viel mehr noch würde sich mir die Frage
Was sind ganze Zahlen?
stellen.
Das mag für eine solch einfache Menge überdimensioniert werden, aber bedenke, dass der Begriff "positive Zahl" und "negative Zahl" erst durch die Definition der Natürlichen Zahlen überhaupt erst eingeführt werden kann.
Weiter benötigst Du die Axiome für spätere Beweisführungen.
Mathe ist eine eigene Sprache so gesehen. Du musst auf einem Blatt in dieser Sprache kurz und knapp erklären können.