Ungleichungen mit Folgen lösen?

Hallo liebe Community,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme da nicht so recht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gilt für alle n ≥ N die Ungleichung |a_n − 1/3 | < 0, 01?

Gegeben ist noch:

$a_n:=\frac{n+4}{3n+10}$

Zuvor hatte man noch folgende Aufgabe:

Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?

Da habe ich N = 19 raus.

Ich habe mir jetzt einfach intuitiv gedacht, dass die Aussage korrekt ist. Aber wie würde man das beweisen? Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen erstmal zu zeigen, dass die gegebene Folge gegen 1/3 konvergiert. Das habe ich wie folgt gemacht:

Sei Epsilon > 0 beliebig.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| =
|2 / (3*3n+10)| = |2 / (9n+10)|

Okay ich habe erstmal a_n - 1/3 vereinfacht. Dann wollen wir ja, dass |a_n - 1/3| kleiner ist als Epsilon, also

    2 / (9n+10) < Epsilon        | * (9n+10)
<-> 2 < Epsilon * (9n+10)        |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon   |:9*Epsilon
<-> (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) < n 

Das heißt ja jetzt, dass sobald n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon), | a_n - 1/3| < Epsilon gilt. Jetzt muss ich ein N finden für das gilt, dass n>=N mit n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon). Und an dieser Stelle bin ich verwirrt. Im Skript wird das so gemacht, dass man nun einfach an das (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) eine 1 addiert und das dann auf die nächste natürliche Zahl aufrundet. Und das ist dann unser N. Aber es muss doch gelten N <= n und das ist dann doch nicht erfüllt, oder? Müsste man nicht eigentlich -1 dranhängen und abrunden?

Ich habe dann erstmal einfach weitergemacht mit dem N (also (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl). Und hier fängt dann ja erst der richtige Beweis an:

Sei N die Zahl (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl. Sei Epsilon > 0 beliebig.

N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1. Sei n >= N beliebig. Dann ist n >= N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1, also n > (2 - 10*Epsilon)/(9*Epsilon).

Hier bin ich wieder verwirrt, ich habe das so gemacht wie im Skript aber ist hier nicht auch ein Fehler?

    n > (2-10Epsilon) / 9Epsilon | *9Epsilon
<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon     | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2     | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2           | :(9n+10)
<-> Epsilon > 2/(9n+10)          

So jetzt schaue ich mir |a_n - 1/3| an.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| = |2 / (3*(3n+10))| = |2 / (9n + 30)|

daraus folgt:

|a_n - 1/3| < Epsiolon. Also ich glaube hier sind ein paar Sachen schief gelaufen. Auch wenn es eigentlich stimmen sollte, dass |a_n - 1/3| < Epsilon gilt.

So damit habe ich gezeigt, dass der Grenzwert 1/3 ist. Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass das kleinstmögliche n 19 ist. Das habe ich dann eingesetzt und gezeigt, dass |a_19 - 1/3| < 0,01 ist. Weil es gegen 1/3 konvergiert, wird der Abstand dann nur geringer habe ich mir gedacht. Wo sind hier meine Fehler? Was könnte ich besser machen?

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?

Da habe ich N = 19 raus

N = 19 ist richtig.

Gilt für alle n ≥ N die Ungleichung |a_n − 1/3 | < 0, 01?

Ich habe mir jetzt einfach intuitiv gedacht, dass die Aussage korrekt ist. Aber wie würde man das beweisen?

Indem man die Ungleichung | a_n − 1/3 | < 0, 01 löst.

Zunächst gilt: die Folge a(n) ist auf ℕ streng monoton fallend.

Das kann man entweder per vollständiger Induktion zeigen, oder, falls man die Mittel der Differentialrechnung benutzen darf, zeigt man es, indem man die Funktion

f(x) = (x+4)/(3x+10) ableitet. Man erhält

f'(x) = -2/(3x+10)² < 0 für alle reellen x ≠ -10/3 .

D.h. f ist auf ℝ\{-10/3} streng monoton fallend und es gilt a(n) = f(n) . Das ist die leichteste Art, die Monotonie der Folge zu zeigen.

Weiter gilt a(1) = 5/13 > 5/15 = 1/3 , d.h. es gilt a(n) > 1/3 für alle n ∈ ℕ, und

|a(n) - 1/3| = a(n) - 1/3

(d.h. die Folge nähert sich 1/3 von oben und man kann die Betragsstriche weglassen).

Nun löst man die Ungleichung

|a(n) - 1/3| = a(n) - 1/3 < 1/100

durch Äquivalenzumformungen und findet

n > 170/9 ≈ 18,88 , d.h. ab n = 19 gilt die Ungleichung. Damit ist N = 19 bewiesen.

Möchte man ein allgemeines, von ε abhängiges N ausrechnen, löst man die Ungleichung

a(n) - 1/3 < ε

und findet n > (2 - 30ε)/(9ε) =: N(ε)

Setzt man zur Probe ε = 1/100 ein, findet man wieder N(ε) = 170/9 .

Gruß