Warum kann man bei der folgenden Aufgabe die Wahrscheinlichkeit einer geraden einstelligen Augensumme nicht berechnen als:?
Hi
Warum kann man bei der folgenden Aufgabe die Wahrscheinlichkeit einer geraden einstelligen Augensumme nicht berechnen als:
Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl * Wahrscheinlichkeit für eine einstellige Zahl.
Wobei die Wahrscheinlich für eine gerade Zahl=1/2
und für eine einstellige Zahl = 1-4/36(da ja entweder 5 und 6, 4 und 6, 6 und 6 sowie 6 und 5 keine einstelligen Augensummen ergeben) ist.
Also: 1/2*8/9 ?
Aufgabe:
Wie oft müssen zwei homogene Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 Prozent mindestens einmal eine gerade einstellige Augensumme zu zeigen?
thx
2 Antworten
Um auch Deine Frage zu beantworten:
Wenn Du als Wahrscheinlichkeit nich 1-4/36, sondern 1-6/36 zugrundelegst ;-), kannst Du auch die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, um auf das richtige Ergebnis 1/2 * 5/6, nämlich 5/12 zu kommen.
5/12 stimmt leider nicht. Ich hatte mich auch vertan. (Siehe meinen Kommentar). Herzliche Grüße, Willy
Hallo,
bei dieser Aufgabe mußt Du zunächst überlegen, wieviele Möglichkeiten es gibt, mit zwei Würfeln eine einstellige gerade Zahl zu werfen.
Von 6²=36 möglichen Kombinationen gibt es 18, die eine gerade Augenzahl zeigen. Dabei ist es so, daß Würfel Nr.1 eine beliebige Zahl zwischen 1 und 6 zeigen kann, Würfel Nr. 2 aber nur jeweils drei Zahlen, nämlich drei ungerade oder drei gerade, je nachdem, ob die Augenzahl von Würfel 1 gerade oder ungerade ist. 6*3=18. Von diesen 18 Kombinationen, die eine gerade Zahl zeigen, mußt Du noch drei abziehen, die nicht einstellig sind, nämlich 4+6, 5+5, 6+4. Bleibt also bei einem Wurf eine Wahrscheinlichkeit von 15/36=5/12 für eine gerade einstellige Augensumme.
Nun sollen die beiden Würfel mehrmals geworfen werden - und zwar so lange, bis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% ein Wurf dabei ist, der eine gerade einstellige Augenzahl zeigt. Du hast es hier mit Oder-Ereignissen zu tun, weil es ja reicht, wenn einer der Würfe die Bedingung erfüllt.
Es gibt eine Formel für die Verknüpfung zweier Oder-Ereignisse, bzw. für die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Sie lautet:
P(E₁ U E₂)=P(E₁)+P(E₂)-P(E₁)∩P(E₂).
P ist hier in beiden Fällen zunächst 5/12.
Also: Die Wahrscheinlichkeit, daß nach zwei Würfen mindestens ein Wurf eine gerade und einstellige Augensumme zeigt, liegt bei 5/12+5/12-5/12*5/12=95/144.
Diesen Wert gibst Du nun als neuen Erwartungswert in die Formel ein, da mit dieser Formel immer nur zwei Ereignisse betrachtet werden können. Die Wahrscheinlichkeit bei drei Würfen liegt dann bei 5/12+95/144-5/12*95/144.
Das sind 1385/1728 oder rund 80 %.
Wieder gibst Du den errechneten Wert in die Formel ein, bis ein Ergebnis von mindestens 99% herauskommt. Das müßte nach dem neunten Wurf der Fall sein - rechne es besser nach oder arbeite mit einer Excel-Tabelle.
Möglicherweise gibt es auch eine Formel, mit der man die Zahl der Würfe direkt berechnen kann - aber mir ist noch keine eingefallen.
Herzliche Grüße,
Willy
In diesem Fall ist die Mindestwahrscheinlichkeit von 99 % erst nach dem zehnten Wurf erreicht, wenn ich mich nicht verzählt habe.
Willy
Hallo,
ich habe gerade noch mal meine Antwort durchgelesen und gemerkt, daß Du von den 18 Möglichkeiten nicht drei, sondern vier abziehen mußt - ich hatte die 6-6 vergessen. Also ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade einstellige Zahl bei einem Wurf 14/36 oder 7/18.
Du mußt die 5/12 also durch 7/18 ersetzen, wenn Du mit der Formel rechnest.
Gruß, WIlly