Warum ist die Unendlichkeit begrenzt?
Unendlichkeit bedeutet doch, dass etwas nie endet, oder? Und zwischen 1 und 2 gibt es unendlich viele Zahlen, aber wie kann das sein, wenn unendlich bedeutet, dass es niemals endet? 1 bis 2 ist eine klare Begrenzung, oder nicht? Tut mir leid für die dumme Frage, aber ich versteh's nicht. Danke im Voraus. (:
17 Antworten
Und zwischen 1 und 2 gibt es unendlich viele Zahlen, aber wie kann das sein, wenn unendlich bedeutet, dass es niemals endet?
Du wirfts da was durcheinander. Das Intervall [1;2] ist natürlich begrenzt. Eben durch 1 und 2. Anschaulich: Betrachtet als Strecke auf der Zahlengeraden hat das Intervall die Länge 1. Das ist ganz und gar nicht unendlich. Aber die "Anzahl" (besser: die Menge) der Zahlen zwischen 1 und 2, die ist unendlich. Wollte man versuchen, diese Zahlen aufzulisten, dann hätte so eine Liste keine Ende: sie wäre un-endlich.
Diese "Liste" ist es, die kein Ende hat.
Ich habe noch eine Frage, wenn ich diese Liste führen möchte, würde ich überhaupt jede Zahl finden? Kann ich eine Zahl finden nach der keine andere Zahl passen würde, so wie es der Fall für 0,9999.. und 1 ist? Finde ich solche Zahlen auch für 0,1 oder für eine x-beliebige Zahl?
Nach dieser Zahl x kann nur Zahl y folgen und nach dieser nur Zahl w etc.?
Diese Liste von der du sprichst, kann/wird niemals enden, wie kann sie dann jemals die 2 erreichen?
Wer behauptet denn, dass sie die 2 erreicht? Ich nicht.
Es käme auch darauf an, wie man die Liste aufbaut. ich könnte natürlich mit der 2 beginnen. Dann steht die halt am Anfang. Oder nach irgendeiner kuriosen Regel verfahren, dann mag die 2 vielleicht an irgendeiner Stelle erscheinen. Oder auch nicht. Schon Listen, die nur Teile von [1;2] ausschöpfen, können unendlich sein, etwa.
1; 3/2; 7/4, 15/8; 31/16; etc
Die ist auch schon unendlich. Die 1 ist enthalten, die 2 wird nicht erreicht. Viele andere Zahlen aus dem Intervall sind aber auch nicth enthalten.
Ich habe noch eine Frage, wenn ich diese Liste führen möchte, würde ich überhaupt jede Zahl finden?
Nein, würde man nicht (hat was mit Cantors Diagonalenbeweis zu tun, das wäre aber schon ein eigenens Thema). Man könnte immerhin eine Liste der rationalen Zahlen zwischen 1 und 2 machen. Ungefähr so:
1;
3/2;
5/4, (6/4), 7/4;
6/5, 7/5, 8/5, 9/5;
8/7, 9/7, 10/7, 11/7, 12/7, 13/7;
9/8, (10/8), 11/8, (12/8), 13/8, (14/8), 15/8;
etc
Eingeklammert sind die Brüche, die kürzbar sind und daher weggelassen werden können. ich hab sie trotzdem hingeschrieben, weil dann der Aufbau leichter erkennbar ist.
ln dieser Liste wird jede gegebene rationale Zahl aus [1;2] irgendwann mal auftauchen (außer der 2 selbst); allerdings wird sie nie alle diese rationalen Zahlen enthalten, eben weil sie unendlich und daher nie fertig ist (im Unendlichen haben wir einen Unterschied zwischen "jeder/jedes" und "alle").
Mir geht in der Liste darum, dass wir bei 1 anfangen zu zählen, die nächst grössere Zahl auflisten, danach folgt dann eben y, danach x und danach c usw. das sollte unendlich lange (theoretisch) machbar sein, also könnte ich niemals die 2 erreichen, weil ich unendlich lange bräuchte, oder nicht? Und, wenn das so ist, warum kann ich trotzdem eine bestimmte Begrenzung festlegen und erreiche nie meine Begrenzung?
Ich denke, ich habe eine totaaal andere Vorstellung von Zahlen :/ Es tut mir fast schon leid, dass du dich mit mir rumschlagen musst.
Habe erst jetzt deinen anderen Kommentar gelesen^^
Mir geht in der Liste darum, dass wir bei 1 anfangen zu zählen, die nächst grössere Zahl
Das Problem ist, dass wir keine nächst grössere Zahl haben. Das geht schon in den rationalen Zahlen nicht (in den reellen erst recht nicht). Daher muss man versuchen, dass anders zu machen.
Müsste es nicht eine nächst größere Zahl geben. Nach einer Zahl folgt eine andere usw. dann muss es doch logisch sein, dass wir wenn wir lang genug suchen eine Zahl finden, die größer als die andere ist? Wer verbietet diese "Regel"?
Woher weißt du so viel?^^ das ist faszinierend.
Zu jeder Zahl gibt es eine größere, aber mit beliebig kleinem Abstand: Was ist die nächstgrößere Zahl zu 1? Ist es 1,1 oder 1,01 oder 1,001? Es gibt keine Zahl, die größer als 1 ist und zugleich kleiner als jede andere Zahl größer 1, aber das müsste sie ja sein, um die nächstgrößere zu sein.
Es ist also zwar möglich, alle Brüche in einer unendlichen Liste aufzuzählen (die Menge der Rationalen Zahlen ist abzählbar), das geht nicht der Größe nach geordnet.
Und was wäre mit 1,000000...1 ?
Ja ich weiß, diese Zahl gibt es gar nicht und widerspricht der wiederkehrende Periode, aber dann führe ich es eben ein! Du kannst noch eine 0 dazwischen tun und wirst dieselbe Zahl erhalten, denn unendlich+1 =unendlich..okok ich sollte euch einfach Recht geben, denn ihr seid die Mathematikgötter hier!
Wenn du dich im Bereich der reellen Zahlen befindest gibt es
- keine nächste Zahl, weil sich zwischen jeden Zahlen, egal wie nahe sie sich sind, unendlich viele befinden
- Da sich du immer unendlich viele Zahlen überspringst, ist diese Menge auch nicht abzählbar!
Wenn du dich im Bereich der rationalen Zahlen ℚ befindest, dann gilt
- siehe ℝ
- Hier kannst du eine geordnete Liste erstellen, allerdings nicht der Größe nach (siehe Punkt 1), aber nach der Summe aus Zähler und Nenner:
- Summe 1: 0/1
- Summe 2: 0/2 (streichen weil = 0/1), 1/1
- Summe 3: 0/3 (streichen), 1/2, 2/1
- Summe 4: 0/4 (streichen), 1/3, 2/2 (streichen; = 1/1), 3/1
- Summe 5: ……usw…usw
- usw…usw
Generell würde ich mal empfehlen: Nicht zu intensiv gedanklich in die Unendlichkeit einsteigen → das gefährdet deine geistige Gesundheit ;-)
So eine Zahl kannst du tatsächlich einführen, also eine Zahl mit den Ordnungseigenschaften, dass sie größer als 1 ist und dazwischen nichts anderes liegt. Mit der kannst du dann allerdings ohne weitere Definitionen, also Willkür, nicht rechnen und auch sonst recht wenig anstellen:
Das Entscheidende ist, dass du nun eine andere Menge als ursprünglich hast. Und die ist ziemlich nutzlos: Sie hat keinen Bezug zur Realität, außer vielleicht genau dafür konstruierte Beispiele.
Also... man kann erstmal ganz unkompliziert darauf schauen. Dann gibt es zwischen 1 und 2 1,1; 1,2; usw. dann natürlich auch 1,12; 1,21; 1;13 und so viele mehr. Schaut man sich das alles an, dann sind das schon sehr viele Zahlen, denn es gibt so viele unterschiedliche Kombinationen und die Stellen hinterm Komma können immer mehr werden. Aber, du denkst dir: Irgendwann gehen die Kombinationen aus, es gibt nur begrenzte Möglichkeiten. Schaut man so darauf, dann ja. Doch die Stellen nach dem Komma lassen sich immer weiter und weiter vermehren, bis es irgendwann unendlich viele Stellen hinterm Komma gibt. Und unendlich viele Stellen bedeutet unendlich viele Möglichkeiten:
So, ich hoffe du hast es jetzt verstanden :)
Ach ja: Ich bin keine Mathematikerin, sollte ein angehender Mathelehrer oder die Klassenbeste in Mathe oder Blaise Pascal hier einen Fehler finden, bin ich dafür offen und entschuldige mich schon jetzt. :D
Der Fehler ist das deine Antwort nicht auf die eigentliche Intention der Frage eingeht :-). So ging es mir jedoch auch. Die eigentliche Frage war mehr so: "Es gibt unendlich viele Zahlen, ich weiß warum, aber wie kann es sein, dass es dann trotzdem eine Grenze gibt.
Du weißt ja, wie das Zehnersystem aufgebaut ist; die anzugebende Zahl wird in der Form a*10^n + b*10^(n-1) + c*10^(n-2) ... + f*10^0 zerlegt und vom größten zum kleinsten Exponenten aufgeschrieben. Die Zahl kann dabei unendlich groß werden, da es keine größte Zahl für n gibt. Da für Zahlen allerdings nicht bei n = 0 Schluss ist (in dem Fall wären die ganzen Zahlen die größte Menge), sondern n für "Kommazahlen" auch negativ wird und auch bis minus Unendlich laufen kann, gibt es zwischen zwei Zahlen eben auch unendlich viele Kommazahlen, die sich in unendlich kleinen Schritten voneinander unterscheiden.
Es gibt zwischen 1 und 2 unendlich viele Zahlen. D. h., wenn du anfängst, diese Zahlen aufzulisten, kommst du nie an ein Ende. Das heißt aber nicht, dass es keine Grenzen für diese Zahlen gibt.
"Das heißt aber nicht, dass es keine Grenzen für diese Zahlen gibt."
Ob du es glaubst oder nicht, auch ich habe das erkannt. Aber unendlich bedeutet ohne Grenze, es gibt hier eine Grenze und trotzdem finden wir eine Unendlichkeit zwischen der Grenze. Für mich ist diese Tatsache ein Widerspruch. Oder meine Definition der Unendlichkeit ist falsch/anders.
Für mich ist diese Tatsache ein Widerspruch. Oder meine Definition der Unendlichkeit ist falsch/anders.
Weder noch. Du wirfst einfach nur die Bezüge durcheinander.
Noch anders gesagt: Wenn das Intervall als Menge betrachtet wird, und wenn du dann nach der Anzahl der Elemente fragst, dann spielt es doch gar keine Rolle, wie groß die Zahlen sind (im Grunde spielt es nicht mal Rolle, dass das überhaupt Zahlen sind).
Die Mengen {1, 2 , 3} und {10, 20, 30} und {56401357125435, 4692356356915654354932573543, 478125493569515481458254245854254545455454858235482} haben jeweils drei Elemente. Die Größe der Zahlen ist dafür ohne Belang. Ich kann auch dreielementige Menge konstruieren, deren Elemente keine Zahlen sind.
{1, 2, 3, 4, 5, ...} - Menge der natürlichen Zahlen. Unendlich.
{1, 1/2 1/3, 1/4, 1/5, ...} - ich hab jeweils bloß n durch 1/n ersetzt. Natürlich genausoviele Elemente wie oben: unendlich viele. Was hätte das damit zu tun, dass nun alle darin enthaltenen Zahlen <=1 sind? Nichts.
Hallo doktoreinstein, ich grüße dich.
Im Grunde liegt hier eine Begriffsverwirrung vor. Vorab ist zu fragen, welche Bedeutung unendlich oder Unendlichkeit hat? Ist von einer Größe die Rede oder von einem Inhalt der Menge nach? Für beides kann gesetzt werden, "ohne Ende". Was dann nur die Aussage zulässt - "unbekannt" oder "bisher noch nicht bekannt".
Andererseits ist zu bedenken, dass in der Regel für die natürlichen Zahlen schon die Unendlichkeit vorgegeben ist. Z = n + 1; hierbei ist das Plus (+) schon die Bedingung für die mögliche endlose Fortsetzung der Zahlenreihe. (Mithin wäre die kleinste natürliche unendlich große Zahl die 1.)
Ich grüße Dich und bleib gesund.
Diese Liste von der du sprichst, kann/wird niemals enden, wie kann sie dann jemals die 2 erreichen?