Warum ist die Quersumme so vieler Quadratzahlen ab 81 auch wieder quadratisch?
gilt z.B für : 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,...
4 Antworten
Weniger interessant sind Bereiche, die nach Quadrieren und Quersumme manchmal wieder Quadratzahlen ergeben.
wie der Iterationsrechner zeigt:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;@N@Bi]=@Pi+8,2);@Ci]=QuerSum(@Bi]);aD[i]=QuerSum(@Ci]);while(aD[i]%3E9)%20aD[i]=QuerSum(aD[i]);@Ni%3E1e5@N0@N0@N#
(LINK endet mit N#) siehe Bild 1
sondern dass sich nach rekursiver Quersummenbildung die einstellige Periode
1,9,1,4,9,7,7,9,4
herausbildet. -> Bild 2
Bekannte Folge:
Da weder auf Danke, Pfeil oder Daumen geklickt wurde, bleibt die Info, was genau geil ist, im Verborgenen...
Mathematisch korrekt müßtest Du von der Quersumme der Dezimaldarstellung sprechen, also genau genommen einem Spezialfall. Schon von daher ist es unwahrscheinlich, daß ein zahlentheoretisches Theorem dahinter steckt.
ich bin kein mathematiker aber ich bezweifle, dass dies einer regel folgt, aus dem einfachen grund, dass das phaenomen nach der reihe, die du aufgefuehrt hast, ja auch schon wieder zu ende ist. d. h. es sind lediglich die quadratzahlen von 9 - 15, die lueckenlos in der quersumme ebenfalls eine quadratzahl ergeben.
ich lasse mich aber gern belehren, wenn jemand das besser weiss.
Das ist reiner Zufall.
Schon die Tatsache, dass dies nur für Quadratzahlen im Intervall [81; 225], zeigt, dass das keine Regel ist.
Hier die Quersumme der ersten 25 Quadratzahlen:
1 ⇒ 1
4 ⇒ 4
9 ⇒ 9
16 ⇒ 7
25 ⇒ 7
36 ⇒ 9
49 ⇒ 13
64 ⇒ 10
81 ⇒ 9
100 ⇒ 1
121 ⇒ 4
144 ⇒ 9
169 ⇒ 25
196 ⇒ 25
225 ⇒ 9
256 ⇒ 13
289 ⇒ 19
324 ⇒ 9
361 ⇒ 10
400 ⇒ 4
441 ⇒ 9
484 ⇒ 16
529 ⇒ 16
576 ⇒ 18
625 ⇒ 13
Es ist offensichtlich, dass dahinter keine triviale Regel steht.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Zieht sich die Reihe 1 4 9 7 7 9 4 1 9 durch alle Quadratzahlen (wenn man die Quersummen konsequent bis auf eine Stelle runterrechnet)?
"wenn man die Quersummen konsequent bis auf eine Stelle runterrechnet"
Was meinst du damit?
LG Willibergi
Wenn man die Quersummen so oft rekursiv bildet, bis nur noch eine Stelle übrig bleibt, sind wir in deiner Liste entweder bei 1, 4, 7 oder 9. Zufall?
Das mag einen spezifischen Grund haben, aber dass die erhaltenen Quersummen teilweise wieder Quadratzahlen sind, ist definitiv Zufall.
LG Willibergi
@Suboptimierer: Nein, kein Zufall:
http://math.stackexchange.com/questions/1377322/digital-roots-of-square-numbers
Denk Dir eine Zahl von 1 - 9 aus und behalte sie für Dich.........-
nun Multipliziere sie mit Neun..........
fertig?
Dann nehme nehme die Quersumme und ziehe 5 ab.
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Nun gehe das Alphabet entsprechend der Zahl ab 1 für A, 2 für B usw.
Nun wähle ein Land und eine Frucht das mit dem Buchstaben beginnt, außer Deutschland.
Nun können sich alle fragen was Datteln mit Dänemark zu tun haben.
Der Bringer und schon kennt man die Magie der Zahlen ^^
Hinweis: da frac(x)=x-floor(x) ist, entsteht die Folge durch:
a=(i*i-1)/9;b=a-floor(a);aD[i]=round(b*9+1);