warum ist es nicht sinnvoll die pq-forml anzuwenden, wenn die quadratische gleichung nicht mit der allgemeinen form übereinstimmt?
z.b f(x)= x^2-196 oder f(x)= 4x^2-8x
9 Antworten
Die pq-Formel sollte grundsätzlich nur bei einer Gleichung der folgenden Form angewendet werden:
f(x) = x² + px + q
p, q ≠ 0
Liegt eine der folgenden Gleichungen vor, sollte ein anderes Lösungsverfahren gewählt werden:
g(x) = x² + px oder h(x) = x² + q
Bei g(x) ist der Satz des Nullprodukts sinnvoll:
"Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer der Faktoren null wird."
Durch Ausklammern können wir die Summe in ein Produkt verwandeln:
0 = x² + px = x(x + p)
Also muss entweder x oder x + p null werden. Somit liegen die Nullstellen der besagten Funktion bei 0 und -p.
Bei h(x) ist die Lösung denkbar einfach. Durch Äquivalenzumformungen kann einfach nach x aufgelöst werden:
0 = x² + q ⇔ x = ±√-q
Jetzt stellt sich natürlich berechtigterweise die Frage, ob man die Wurzel aus -q ziehen darf, da Wurzeln aus negativen Zahlen ja reell nicht definiert sind.
Die Antwort ist: Ja, darf man. Aber nur, wenn q ≤ 0. Denn nur dann hebt sich das Minus unter der Wurzel auf und der Radikant wird positiv.
Das kannst du dir auch einfach veranschaulichen:
Das Absolutglied, also die Zahl, die alleine steht, verschiebt die Parabel nach oben (>0) oder nach unten (<0). Wenn die Parabel nach oben verschoben wird, liegt der Scheitelpunkt über der x-Achse und somit ist schneidet die Parabel die x-Achse nie. Wenn die Parabel jedoch nach unten verschoben wird, liegt der Scheitelpunkt verständlicherweise unter der x-Achse und somit schneidet sie die x-Achse in zwei Punkten.
(Für Klugscheißer: Dies gilt nur in der normierten Form der Parabelgleichung)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Dann gibt es einfachere Lösungsmethoden. In deinem ersten Beispiel kann man direkt nach x auflösen, im zweiten kann man x ausklammern und verwenden, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist. Also folgt aus
0 = 4x^2 - 8x = x(4x-8)
dass entweder x=0 oder 4x-8=0. Die Nullstellen wären also 0 und 2.
Die p,q-Formel ist nicht eine Formel, sondern ein Gebilde aus 2 Gleichungen. Wenn die erste nicht gegeben ist, darf man die zweite nicht anwenden. Wenn man es dennoch tut, muss man eine Menge Vorsichtsmaßregeln beachten.
Normierte Form der quadratischen Gleichung: x² + p x + q = 0
Lösungsformel: x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Das muss passen, und dagegen sollte man nicht verstoßen.
Zumal geht es schneller, das wurde Dir ja bereits gezeigt. Ist Dir bewusst wie man die pq-Formel bewiesen/hergeleitet (entdeckt/erfunden) hat? Man stand vor der Aufgabe eine Gleichung der Form x²+px+q=0 zu lösen und löste mit Hilfe der quadratischen Ergänzung nach x auf. Es ergibt sich die pq-Formel beim richtigen herangehen.
Weil es zu umständlich ist.
f(x)=x^2-196 ergibt x= +/- Wurzel(196) also viel einfacher
f(x)=4*x^2-8*x dividiert durch 4 ergibt
f(x)=0= x^2 - 4 * x
Dies ist die "gemischtquadratische Gleichung" mit q=0
0=x^2 +p * x Nullstellen bei x1= 0 und x2= - p
TIPP : besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen,wie den "Kuchling". Da brauchst du nur abschreiben.
Siehe auch "Lösbarkeitsregeln" im Mathe-Formelbuch und den Satz von
"Vieta" : x1 +x2= - p und x1 * x2=q
und nochmal, danke für eine sehr hilfreiche antwort :D