Warum ist die 1 keine Primzahl? Sie ist ja schließlich auch nur durch sich selbst teilbar?
8 Antworten
Eine Primzahl ist definiert als eine Zahl mit genau zwei Teilern: 1 und die Zahl selbst. Die Zahl 1 hat nur einen Teiler (nämlich 1), ist also keine Primzahl.
Warum wurde diese Entscheidung getroffen? Dafür gab es verschiedene Gründe, aber der wichtigste ist, dass die Primfaktorzerlegung nur ein einziges Ergebnis haben sollte.
Bei der Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegt; wenn die 1 eine Primzahl wäre, gäbe es dafür unendlich viele Möglichkeiten:
Das ist nicht wirklich eine Begründung. Dass die 1 keine Primzahl ist, war eine bewusste Entscheidung. Man hätte Primzahlen auch anders definieren können. Diese Definition wurde gewählt, weil sie nützlich ist.
Das ist genauso wie bei den natürlichen Zahlen. Manchmal wird die 0 dazugezählt, manchmal nicht. Letztendlich spielt es aber keine Rolle, solange man sich auf eine Definition festlegt und dieser konsequent folgt.
Das ist nicht wirklich eine Begründung. Dass die 1 keine Primzahl ist, war eine bewusste Entscheidung.
Ja und nein. Natürlich darf die 1 keine Primzahl für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sein, aber 1 ist ohnehin keine Primzahl, da 1 nicht irreduzibel ist.
Man hätte Primzahlen auch anders definieren können. Diese Definition wurde gewählt, weil sie nützlich ist.
prim zu sein bedeutet ohnehin etwas anderes als irreduzibel zu sein, dennoch sind die Primzahlen genau die Zahlen, die irreduzibel sind.
dennoch sind die Primzahlen genau die Zahlen, die irreduzibel sind
Das mag ja sein, das ist aber nur eine von vielen möglichen Definitionen.
Entsprechend darf die 1 natürlich auch in den anderen Definitionen keine Primzahl sein, sonst wäre die Definition nicht eindeutig.
Primzahlen sind genau die Elemente p aus |N (den natürlichen Zahlen) für die gilt p ist keine Einheit und wenn g, h aus |N existieren mit p = g * h folgt, dass g oder h eine Einheit ist. Einheiten sind genau die Elemente a für die gilt: es existiert b, sodass b*a = 1.
Die einzige Einheit aus den natürlichen Zahlen ist 1, denn 1 * 1 = 1. Entsprechend kann die 1 keine Primzahl sein.
Kurze Antwort: einfach, weil es so definiert ist.
wenn dich die Hintergründe interessieren:
die idee war glaube ich, dass man alle zahlen als klare Darstellung von primfaktoren umformen kann. Mit 1 als Primzahl, könnte die zahl 6 nicht nur als 2*3, sondern auch als 1*2*3 oder 1*1*2*3... dargestellt werden. Dadurch würde man die Eindeutigkeit der Primzahlzerlegung verlieren.
Ich hoffe, das hat die ein oder andere frage beantwortet
Gruß davebot
Natürlich meine ich, dass nur alle NATÜRLICHEN Zahlen mit Primzahlen dargestellt werden können. Da war ich etwas ungenau
Das geht mit den ganzen Zahlen natürlich auch, nur braucht man noch eine Vorzeichenfunktion σ(x), die 1 zurückgibt, falls x positiv ist und -1 zurückgibt, falls x negativ ist.
Wie Mathematiker wissen, lässt sich JEDE natürliche Zahl auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen darstellen.
Damit dieser Satz richtig ist, muss man voraussetzen, dass nicht auch die 1 als Primzahl gilt. Mit anderen Worten: Der Begriff Primzahl ist so definiert, dass er die 1 ausschließt.
Eine Primzahl muss größer als 1 sein ... daher ist und kann 1 keine Primzahl sein!
Eine Primzahl MUSS durch DIE 1 und durch sich SELBER teilbar sein also mit 2 VERSCHIEDENEN zahlen und nicht mit der selben
Sagte ich doch!
Jede Primzahl kann durch 1 und sich selbst geteilt werden. Bei der Zahl 1 ist der Teiler in beiden Fällen die Zahl 1, also gibt es hier nur einen Teiler. Die 1 ist somit keine Primzahl!
Weil 1 eine Einheit ist, damit nicht irreduzibel und damit keine Primzahl.