Warum eine Summe von Zufallsvariablen beim zentralen Grenzwertsatz der Statistik?
Was ich am zentralen Grenzwertsatz nicht verstehe: Warum heißt es, dass die Summe von i.i.d-Zufallsvariablen für n gegen unendlich gegen die Normalverteilung läuft? Warum muss es eine Summe sein? Warum kann nicht eine einzige Zufallsvariable für n gehen unendlich gegen die Normalverteilung laufen? Bei einer Binomialverteilung ist es doch eine Zufallsvariable, die sich bei größeren n der Glockenkurve annähert (Satz von Moivre-Laplace).
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Bei einer Binomialverteilung ist es doch eine Zufallsvariable, die sich bei größeren n der Glockenkurve annähert (Satz von Moivre-Laplace)
Eine binomialverteilte Zufallsvariable ist eine Summe aus unabhängig identisch bernoulliverteilten Zufallsvariablen. Der Satz von Moivre-Laplace ist also nur ein Spezialfall vom zentralen Grenzwertsatz.
Genauso kann man das auch bei anderen Zufallsvariablen machen, dass man die Summe aus n solchen i.i.d Zufallsvariablen als eine neue Zufallsvariable definiert. Ein weiteres Beispiel wäre die chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden, denn da werden auch nur n chi-quadrat-verteilte Zufallsvariablen mit einem Freiheitsgrad aufsummiert.
Der Beweis des zentralen Grenzwertsatzes ist aufwendig und geht üblicherweise über charakteristische Funktionen. Die Summe von Zufallsvariablen entspricht nämlich einer Faltung, wobei die charakteristischen Funktionen dann multipliziert werden.