Warum sei die FUnktion nicht integrierbar, nur weil ln(x) für <=0 nicht definiert ist?
Ich könnte ja im positiven Integrieren oder?
AUßerdem: Ist eine Wurzelfunktion allgemein Integrierbar, also Wurzel(x), weil negative Zahlen dürfen da ja auch nicht rein?
2 Antworten
Naja.
Sie könnten tatsächlich nur in positiven integrieren, doch dann hätten Sie nicht mehr das Integral mit der unteren Grenze "-1", sondern etwas positives, also würden Sie ein anderes Integral berechnen.
Zudem kann man Wurzeln und Logarithmen aus negativen Zahlen ziehen. Nur aus der lieben 0 nicht, weswegen die Funktion in komplexen auch bei 0 nicht differenzierbar/stetig ist.
Das heißt, dass Sie in komplexen integrieren können, doch da ist das etwas komplexer, da sowohl die Wurzel Zweige hat als auch der Logarithmus hat unendliche viele Zweige (außer bei 0 - ist da ja auch nicht definiert). Zudem muss man zudem erst noch mit der Cauchy-Rimanschen- Differentialgleichung zeigen, wie die Funktion stetig ist, was nicht so einfach geht. Die Funktion ist aber für alle x ≠ 0 integrierbar (in komplexen).
(Wenn Sie das interessiert würde ich Ihnen das Buch "Einführung in die komplexe Analysis" von Wolfgang Fischer und Ingo Lieb empfehlen.)
:3
Die Funktion ist nicht auf [-1,1] integrierbar, weil sie nicht auf [-1,1] definiert ist. Oder anders ausgedrückt: auf [-1,1] ist das einfach keine Funktion. Du könntest sie durchaus auf z.B. [0.5, 1] integrieren, aber dann müssten eben die Integralgrenzen entsprechend aussehen.