Wann ist die Lösungsmenge eines Gleichungssystems leer?
Wann ist die Lösungsmenge eines Gleichungsystems leer? Bitte mit Beispielen : j
Danke schon mal im voraus! : )
4 Antworten
Dies ist der Fall, fals keine Lösung existiert, welche das Gleichunssystem erfüllt.
Bsp:
x² = -1
, diese Gleichung besitzt eine leere Lösungsmenge auf den reellen Zahlen, da auf diesen die Ungleichung:
x² >= 0 für alle x aus IR, erfüllt ist.
Ein Beispiel für ein LGS mit leerer Lösungsmenge wäre:
I) a + b = 2
II) 2a + 2b = 6
Es lässt sich hier Beispielsweise II) auf I) zurückführen wobei dabei ein Widerspruch auftritt, denn man betrachte:
II)*0.5 --> a + b = 3 aber nach I): a + b = 2
--> Widerspruch, dass LGS besitzt keine Lösung.
Für LGS wenn du dich imtressierst; steht ales in Kowalsky oder Greub; Band 1 .
Sie ist leer genau dann, wenn der Rang ihrer Koeffizientenmatrix ( KM ) um Eins kleiner ist als der Rang der erweiterten KM .
Logisch; das LGS besagt doch nichts anderes als, der Vektor der rechten Seite lässt sich darstellen als ===> Linearkombination der Spalten der KM .
Spielen wir das mal durch an dem Beispiel von der Community; der hart KM
- 3 1
- 3 1 ( 1 )
Matrix ( 1 ) hat Rang 1 ; du hast zwei gleiche Zeilen ( oder Spalten. ) Jettzt die erweiterte
- 3 1 4
- 3 1 5 ( 2 )
Dass Zeile 2 linear unabhängig ist von Zeile 1 , sieht man unmittelbar.
zB
y-3x=4
y-3x=5
Gleichungen subtrahieren, ergibt:
0 = -1 falsche Aussage
also Lösungsmenge = leer
wenn du II-I rechnest, dann hast du recht;
man kann aber auch I-II rechnen, dann =-1
ist aber egal für die leere Menge.
... wenn ein Widerspruch zwischen den Gleichungen besteht.
3x + 4 = y
6x + 4 = y (Widerspruch)
Gruß, H.
Wäre es eigentlich nicht 0 = 1 ?