Dimension des Vektorraums der (schief)symmetrischen Matrizen bestimmen?
Frage steht oben. (im R^n,n)
Kann mir jemand das Verfahren erklären? Wie gehe ich vor? Ich weiß wie diese Matrizen aussehen aber wie steht Dimension und Matrix überhaupt in Verbindung?
Gruß
1 Antwort
Überlegen wir es erst an einem konkreten Beispiel und verallgemeinern wir dann: Betrachte den Vektorraum der schiefsymmetrischen Matrizen vom Typ (3, 3). Dann hat jede Matrix die Form
Wegen
lässt sich einfach eine Basis ablesen (die lineare Unabhängigkeit lässt sich leicht zeigen). Wir wissen also schon mal, dass der Vektorraum der schiefsymmetrischen Matrizen vom Typ (3, 3) die Dimension 3 hat. Es lässt sich jetzt einfach die folgende Regelmäßigkeit erkennen: Wir haben immer so viele Basisvektoren wie es freie Variablen in der allgemeinen schiefsymmetrischen Matrix gibt (hier die drei Alphas, betrachte den Teil links unten).
Überlege es dir jetzt für eine 4x4-Matrix: Dann gibt es 3+2+1 freie Variablen (intuitiv erkennen wir eine "Treppenform"). Das lässt sofort auf den kleinen Gauß schließen, scheinbar ist die Dimension des Vektorraums für den Typ (n, n) also
Das ist so natürlich noch kein ordentlicher Beweis, aber zeigt, wie man intuitiv auf die richtige Lösung kommen kann. Der formale Beweis ist dann nur noch eine technische Sache, aber lässt sich mit demselben Gedanken allgemein führen. Alternativ vollständige Induktion.
LG
Wow sehr vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich denke ich habe es jetzt verstanden. LG