Wahrscheinlichkeitsrechnung Frage (Urne - zwei gleiche Kugeln)?
Hallo, diese Frage bezieht sich nicht auf eine Hausaufgabe o.ä, sondern ist etwas, was wir kürzlich im Unterricht wiederholt habe. Es geht darum, dass wir eine Urne hatten, in der 6 Kugeln waren. Diese waren jeweils mit einer Nummer beschriftet, wobei es zwei mal die Kugel mit der Nummer 1 gab. Anschließend haben wir die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass man ohne hinzusehen zwei Kugeln zieht, die die Zahl drei oder niedriger haben.
Nun zu meiner Frage: Bei dieser Berechnung haben wir für die Möglichkeit, dass man zweimal hintereinander die 1 zieht, die Wahrscheinlichkeit nur 1x in der Berechnung benutzt. Allerdings ist es doch theoretisch Möglich, (1;1) und (1;1) zu ziehen (die beiden Kugel in unterschiedlicher Reihenfolge). Müsste man in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit nicht zwei mal nehmen, um ein korrektes Ergebnis zu erhalten?
Als Anhang die Aufgabe (b)
2 Antworten
Hallo,
die Tatsache, daß die 1 zweimal unter den 6 Kugeln vorhanden ist, bedingt, daß die Wahrscheinlichkeit für eine 1 gleich 1/3 ist. (Hier ist die Verdoppelung, die Du meinst, bereits berücksichtigt.)
Das Ereignis 1;1 hat also eine Wahrscheinlichkeit von (1/3)²=1/9.
Wäre die 1 nur einmal vorhanden, wäre die Wahrscheinlichkeit für 1;1
(1/6)²=1/36, also nur ein Viertel vom anderen Wert.
Würde die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht zurückgelegt, würde sich die Wahrscheinlichkeit für eine 1 beim zweiten Ziehen von 1/3 auf 1/5 reduzieren. Hier aber geht es ja um eine Ziehung mit Zurücklegen.
Das Ereignis 1;2 hat dagegen eine Wahrscheinlichkeit von (1/3)*(1/6)=1/18, ebenso das Ereignis 2;1: (1/6)*(1/3)=1/18.
2;1 und 1;2 zusammen haben wieder die Wahrscheinlichkeit von 2/18=1/9, das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit wie 1;1 - das doppelte Vorkommen der 1 macht sich also durchaus bemerkbar.
Herzliche Grüße,
Willy
Die günstigen Ereignisse für b) - mit Berücksichtigung verschiedener Kugeln mit 1 - sollten {(1,1); (1,1); (2,1); (2,1)} sein. Das wäre dann also 4*(1/6)^2=1/9.