Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Urne
Aufgabe :
In einer Urne befinden sich 7 weiße, 5 schwarze und 3 rote Kugeln. Es werden 3 Kugeln gleichzeitig gezogen
A: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel weis ist und zwei Kugeln schwarz B: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine weiße Kugel gezogen wird
Mir ist klar, dass man diese Aufgabe mit dem Baumdiagramm lösen kann. Das sind allerdings sehr viele Pfade die man da berechnen muss. Deshal wollte ich fragen ob es einen schnelleren Weg gibt.
Danke im voraus
2 Antworten
Hallo,
Aufgabe 1 kannst Du über den Binomialkoeffizienten berechnen.
Es gibt 7 über 1 * 5 über 2 * 3 über 0 Möglichkeiten, aus einer Urne mit 7 weißen, 5 schwarzen und drei roten Kugeln herauszufischen.
Diese mußt Du durch die Zahl der möglichen Dreierkombinationen teilen (wobei es nicht auf die Reihenfolge ankommt): 15 über 3.
7 über 1 bedeutet 7!/(1!*6!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*1*2*3*4*5*6)=7
5 über 3 = 5!/(3!*2!)=2*5=10
3 über 0 =3!(0!*3!)=3/3=1
15 über 3 = 15!/(3!*12!)=13*7*5=455
Bei den Fakultäten mußt Du immer zuerst kürzen, dann lassen sie sich viel leichter berechnen. 7!/5!=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*3*4*5). Hier kürzt Du die 1 bis 5 im Zähler gegen die 1 bis 5 im Nenner und behältst 6*7=42 übrig. Dafür brauchst Du nicht mal einen Taschenrechner und kannst Dir das Herumhantieren mit hohen Zahlen sparen.
(7 über 1 * 5 über 3 * 3 über 0)/(15 über 3)=(7*10*1)/455=70/455=0,1538.
Aufgabe 2 (B) berechnest Du über das Gegenereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß keine weiße Kugel gezogen wird?
Die beträgt (8/15)*(7/14)*(6/13)=0,123
Da sich die Wahrscheinlichkeiten für Ereignis und Gegenereignis zu 1 summieren, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens eine weiße Kugel dabei ist, gleich 1-0,123=0,877.
Hier geht es um das Problem der Auswahl ohne Zurücklegen. In der Urne befinden sich insgesamt 15 Kugeln, von denen 8 nicht weiß sind. Wenn Du die erste Kugel herausziehst, ist sie mit einer Wahrscheinlchkeit von 8/15 nicht weiß. Bei der zweiten Ziehung sind nur noch 14 Kugeln im Topf, von denen - da wir ja nur die Fälle betrachten, in denen keine weiße Kugel gezogen wird, 7 nicht weiße Kugeln vorhanden sind. Beim dritten Mal sind es also 6 von 13 Kugeln, die nicht weiß sind. Diese drei Wahrscheinlichkeiten mußt Du miteinander multiplizieren, um auf die Gesamtwahrscheinlichkeit zu kommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Du könntest einfach nur die Pfade zeichnen, die notwendig sind:
A) WSS, SWS, SSW (also nur drei Pfade)
B) Ist das Gegenereignis zu keine Weiße. Es genügt also ein Pfad: NichtweißNichtweißNichtweiß. Die Wahrscheinlichkeit zu Nichtweiß ist die von schwarz + rot.