Wahrscheinlichkeitsberechnung mit fünf Würfeln?

Fünf Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Typen von Ereignissen, wenn Gleichverteilung vorausgesetzt wird:

a) alle Augenzahlen verschieden

b) ein Paar

c) ein Tripel, ein Paar

d) vier gleiche Augenzahlen

Meine Überlegung für a ist 6! = 720

Bei d muss man glaube ich 6*(1/6)^4 = 1/216 rechnen, bin mir aber nicht sicher. B und c komme ich nicht weiter. Wäre froh um einen Lösungsweg und die Erklärung dazu.

Freundliche Grüsse

Answer 1

[HWSteinberg]

720 ist keine Wahrscheinlichkeit (Ws). Alle Ws liegen zwischen 0 und 1.

Um Ws zu bilden, musst Du die jeweiligen Teil-Ereignisse durch alle möglichen Ereignisse teilen.

Ich nehme mal an, die Würfel sollen nicht unterschieden werden: Wenn Du die Würfel in 5 verschiedenen Farben hast, und Du hast einmal alle 5 gewürfelt, dann ist es egal, auf welcher Farbe (welchen Farben) z.B. die 1 liegt. Ein Farbentausch zählt als dasselbe Ergebnis.

Die Gesamtzahl der möglichen Ereignisse zu bestimmen, ist gar nicht so einfach. Lassen wir also erst mal den Nenner weg und berechnen die Anzahlen im Zähler für a)-d):

a) 6, genau 1 der 6 Zahlen muss fehlen (nicht 720!)

b) erst später

c) 6*5+6*1=36: Für das Tripel habe ich 6 Möglichkeiten, dann bleiben jeweils 5 andere für das Paar, und jeweils 1 wenn das Paar die gleiche Zahl ist wie das Tripel ist, sodass sogar alle 5 gleich sind (Quintupel).

d) 6*5+6*1=36: Für das Quadrupel (4 gleiche) habe ich 6 Möglichkeiten, bleiben je noch 5 andere für den 5. Würfel, oder je 1 für die gleiche Zahl, sodass das Quadrupel sogar ein Quintupel ist.

Du siehst schon, Fälle überschneiden sich. b) ist ganz kompliziert:

b) 1. ein Paar und ein Tripel: ist c)=36 (incl. Quintupel)
2. 2 Unterschiedliche Paare: (6 über 2)=30 Möglichkeiten für die Paarzahlen, bleiben je 4 andere Zahlen: 120
3. 2 gleiche Paare, also Quadrupel: 6 Möglichkeiten für das Quadrupel, jeweils 5 für den 5. Würfel: 30 (ist d) ohne Quintupel, da das schon in 1. ist)
4. 1 Paar und 3 verschiedene: 6 Paare, bleiben je 5 andere Zahlen, aus denen 3 verschiedene auszuwählen sind, 6*(5 über 3)=60
in Summe: 246

Jetzt ist die Gesamtzahl einfach geworden: b) umfasst alle Fälle, bei denen mindestens 2 Zahlen übereinstimmen, bleiben die 6 Fälle aus a), sodass es insgesamt 252 mögliche Würfelkonstellationen gibt. Nun kannst Du die Ws berechnen