Kann mir bitte jemand helfen die Wahrscheinlichkeit zu berechnen?
Hallo,
Pavel und Max möchten sich einen neuen Spielmodus für die Dartscheibe ausdenken. Max versucht das Bull’s Eye zu treffen, was er mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0,1] schafft, während Pavel versucht das Bull’s Eye oder den Outer-Bull zu treffen (er schafft seine Aufgabe mit Wahrscheinlichkeit q ∈ (0,1], wobei p < q gilt). Pavel schlägt vor, abwechselnd zu werfen, und wer als erstes trifft, hat gewonnen. Die ungleichen Zielfelder sollen dadurch ausgeglichen werden, dass Max, der auf das kleinere Feld wirft, pro Durchlauf 2 Versuche bekommen soll, während Pavel nur einen Versuch pro Durchlauf hat. Im Gegenzug soll Pavel dafür anfangen dürfen. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf N an, die das Zufallsexperiment beschreibt. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Pavel gewinnt. Für welche Wahl von p und q ist diese 1/2?
3 Antworten
X gebe an, in welchem Durchgang das Spiel endet.
Die Ws., dass Max in einem bestimmten (geraden) Durchgang das Spiel gewinnt ist
p + (1-p)p (er hat zwei Würfe)
Mit Ws. (1-p)^2 gewinnt Max in diesem Durchgang nicht.
Die Ws., dass Pavel in einem bestimmten (ungeraden) Durchgang das Spiel gewinnt ist q (er hat nur einen Wurf, darf aber anfangen).
Mit Ws. 1-q gewinnt Pavel in diesem Durchgang nicht.
X= 2n-1, d.h. das Spiel endet im Durchgang 2n-1 (n=1, 2, 3, ....) mit Ws.
( (1-q) (1-p)^2 )^(n-1) * q
X= 2n, d.h. das Spiel endet im Durchgang 2n (n=1, 2, 3, ....) mit Ws.
( (1-q) (1-p)^2 )^(n-1) * (1-q) * (p + (1-p)p)
Damit ist die Verteilung von X gegeben.
Die Ws., dass Pavel gewinnt, ist
Summe( n= 1, 2, 3, ....; ( (1-q) (1-p)^2 )^(n-1) * q )
= q / ( 1 - ( (1-q) (1-p)^2 ) )
Das mit 1/2 gleichsetzen und nach p auflösen kannst du selber.
Schön, wenn das gut klingt. Du kannst q / ( 1 - ( (1-q) (1-p)^2 ) ) = 1/2 nach p oder nach q auflösen und erhältst damit p in Abhängigkeit von q (oder umgekehrt). Dabei muss 0 <= p < q <=1 beachtet werden. Z.B. kann p von 0 bis 1/2 (3 - Wurzel(5)) laufen, q berechnet sich entsprechend aus p.
Ah okay verstehe. Das bedeutet in p ist immer ein q enthalten und andersherum? Kannst du mir da evtl helfen? Habe es versucht nach p und q umzustellen, aber komme auf leider keine Lösung...
Treffer in der 1. Runde:
Max:
P(bei 2 mal Werfen mind.1 mal treffen) = p(1-p) + (1-p)p + p^2 = 2p - p²
oder über Gegenereignis:
P(bei 2 mal Werfen mind. 1 mal treffen) = 1 - P(kein mal) = 1 - (1-p)² = 2p - p²
Pavel:
P(bei 1 mal Werfen 1 mal treffen) = q
----------------------------
Treffer nach n Runden:
Über Gegenereignisse:
Max: P(bei 2n mal Werfen mind. 1 mal treffen) = 1 - (1-p)^2n
Pavel: P(bei n mal Werfen mind. 1 mal treffen) = 1 - (1-q)^n
usw.
Ich bin derbe davon getriggert, dass die das „Outer-Bull“ nennen. 😂 Sagt kein Mensch
Klingt an sich gut, aber wie berechne ich p? Da ist ja auch immer ein q drin?