ungleiche Wahrscheinlichkeiten ?
Guten Tag,
Ich rechne gerade an folgender Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß:
bei einem gezinkten Würfel fällt die Zahl 6 dreimal so häufig wie die eins und die fünf doppelt so häufig wie die 2.
Zwei gegenüberliegende Zahlen haben zusammen stets die Wahrscheinlichkeit von einem Drittel.
Die wahrscheinlichkeitsverteilung habe ich mittlerweile aufgestellt, jedoch weiß ich keinen Ansatz, wie ich folgenden Aufgabenteil berechne:
Der Besitzer des gezinkten Würfels erhält bei 50 Würfen nur 25 mal die vier fünf oder sechs. Er vermutet deshalb, dass er aus Versehen einen anderen Würfel erwischt hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt er bei seiner Vermutung richtig?
Wie muss ich hier vorgehen?
Vielen dank im voraus!
1 Antwort
Zu nächst einmal stellt sich die Frage, ob man die Wahrscheinlichkeit wirklich exakt beziffern kann. Grundsätzlich könnte man das mit:
beziffern, wobei n die Anzahl aller zu Verfügung stehender Würfel ist und g die Anzahl der gezinkten Würfel. Aber ich vermute mal, der Ansatz soll in eine andere Richtung gehen.
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bei einem gezinkten Würfel fällt die Zahl 6 dreimal so häufig wie die eins und die fünf doppelt so häufig wie die 2.
Zwei gegenüberliegende Zahlen haben zusammen stets die Wahrscheinlichkeit von einem Drittel.
Daraus lässt sich folgendes LGS aufstellen:
P(1) + P(6) = 1/3
P(1) + 3*P(1) = 1/3
4*P(1) = 1/3
P(1) = 1/12
P(6) = 3 * 1/12 = 1/4
Als auch:
P(2) + P(5) = 1/3
P(2) + 2*P(2) = 1/3
3*P(2) = 1/3
P(2) = 1/9
P(5) = 2 * 1/9 = 2/9
Da uns über P(3) und P(4) keine weiteren Angaben vorliegen, müssen wir davon ausgehen, dass sie gleichwahrscheinlich sind, also je 1/6
Damit wäre die Wahrscheinlichkeit für eine 1, 2 oder 3 insgesamt:
1/12 + 1/9 + 1/6 = 3/36 + 4/36 + 6/36 = 13/36
Und für 4, 5 oder 6 entsprechend
1 - 13/36 = 23/36
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Der Erwartungswert wäre also 50*(23/36) ~ 32 mal.
Bei einem normalen Würfel 50*(1/2) = 25 mal.
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Nun könnten wir zum Beispiel die Standardabweichung berechnen und mit der 68-95-99,7 Regel ungefähr vorhersagen können, dass der Wert bei ca (100-95)/2=2,5%.
Denn die Standardabweichung ergäbe sich aus:
Die doppelte StAb wäre demnach ~6,8 und bei einem Erwartungswert von ~32 ergäbe das mit einer ca 95% Wahrscheinlichkeit einen Intervall von 25 bis 39.
Damit wäre man gerade am untersten Rand von 95% der Werte. Die restlichen 5% verteilen sich darüber und darunter, blieben also ~2,5% für Werte unterhalb 25 und damit 2,5-3,5% für Werte <25.
Das wäre aber nur geschätzt. Wenn du es genauer willst, kommt es darauf an, welche Hilfsmittel erlaubt sind. Manche Taschenrechner beherbergen eine Funktion vom Schema:
was quasi sowas wäre wie:
Wenn wir dann für a = 0 und b = 25 einsetzen, dann bestätigt sich unsere Annahme von der Ableitung der Standardabweichung nahezu, denn gerade einmal ~3,063% aller Messungen würde ein Ergebnis von kleiner 26 für die Zahlen 4, 5 und 6 anzeigen.
ABER: Ob man damit auf eine ~97% Wahrscheinlichkeit schließen kann, dass er einen normalen Würfel erwischt hat? Ich denke nicht, denn wenn er nur gezinkte Würfel zur Hand hat, wäre die Wahrscheinlichkeit für einen normalen Würfel genau 0%, also unmöglich!
Daher ist die Fragestellung als solches ziemlich daneben. In einer Prüfung würde ich die Berechnungen zwar aufstellen, allerdings basierend auf dem berechtigen Einwand die Frage letztlich mit:
Zwischen 0% und 100%!
beantworten und volle Punktzahl erwarten! Wenn du nur ein Fazit ziehen möchtest, dann sollte er auf jeden Fall mal überprüfen, ob er den gezinkten Würfel erwischt hat, denn alles deutet eher auf einen normalen Würfel hin.