Mathe Stochastik?
Hallo,
Die Anders GmbH produziert Infrarot-Fieberthermometer. Erfahrungsgemaß weisen 5% der hergestellten Thermometer Mangel auf. Zur Qualitatssicherung schafft die Firma ein Testgerät an, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 97% ein mangelhaftes Thermometer als mangelhaft erkennt. Ein Thermometer ohne Mangel wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 93% als fehlerfrei erkannt. Berechnen Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, mit der das Testgerat bei der Prüfung eines Infrarot-Fieberthermometers
a) einen Mangel anzeigt.
b) keinen Mangel anzeigt.
Ich wäre sehr dankbar!!!
Vielen Dank im Voraus für eure Antworten.
1 Antwort
Hier sei kurz die Schreibweise für die bedingte Wahrscheinlichkeit gezeigt: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). In der Schule schreibt man das "B" bei "P(A|B)" unten als Index.
Nun zur Aufgabe:
Wir definieren folgendes
- A := "Mangel bei Thermometer"
- E := "Test zeigt positiv"
mit folgendenen gegebenen Werten
- P(A) = 5 % = 0.05
- P(E|A) = 97 % = 0.97
- P(Ē|Ā) = 93 % = 0.93
und gesucht ist
- a) P(E) = ?
- b) P(Ē) = ?
a)
Hier können wir das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden und erhalten
P(E) = P(E|A) • P(A) + P(E|Ā) • P(Ā)
wobei gilt, dass
- P(Ā) = 1 – P(A) = 0.95
- P(E|Ā) = 1 – P(Ē|Ā) = 0.07
und somit - wenn man die Werte einsetzt - P(E) = 0.97 • 0.05 + 0.07 • 0.95 = 0.115 oder anders: P(E) = 11.5 %.
b)
Hier berechnen wir nun auch einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von E, also Ē, so wie wir das bei a auch schon gemacht haben.
P(Ē) = 1 – P(E) = 1 – 0.115 = 0.885 = 88.5 %
Bitteschön :)