Waagrechte Tangenten liegen nur bei lokalen Extrema sowie Sattelpunkten vor. Polynomfunktionen n-ten Grades haben Maximal n Extema bzw. Sattelpunkten.
Erste Erkenntnis: Wenn k=0, springt der Grad der Polynomfunktion auf 2, da 2 der höchste verbleibende Exponent ist. Demnach liegt dann maximal (bzw. hier genau) n-1= 1 waagerechte Tangente vor.
Ansonsten gibt es bis hier hin maximal 3 waagerechte Tangenten. Das kann man noch weiter eingrenzen, indem man die Extrema betrachtet:
d/dx (kx^4*x^2)=3kx^3+ 2x sei = 0
Es gibt eine NS bei x=0, ansonsten folgt für x!= 0
<=> 3kx^2 + 2=0 <=> x= sqrt(-2/ (3k) )
Jetzt sieht man, dass das der Radikant der Wurzel (sqrt steht für die Wurzel), also das was in der Wurzel steht, nur reelle Lösungen für k<0 liefert, da sich die (-) dann kompensieren und der Radikant positiv wird, was die bekannte Voraussetzung bei Wurzeln ist.
Daraus lässt sich folgern, dass für k>= 0 nur eine waagerechte Tangente bei x= 0 existiert, weitere Lösungen liefert die Wurzel in dem Fall nicht. Für k<0 kommen hingegen zwei weitere Lösungen dazu, sodass dann 3 existieren.
Wie man sieht, keine Aufgabe, bei der man allzu viel nachdenken müsste, sondern strikt nach Schema, bei auf die Fallunterscheidung am Ende. Dem bekannten Verfahren zu folgen, wenn man erst mal nicht durchblickt, kann sich also schon lohnen.