Mathe (Ableitungen) - Hilfe?

1 Antwort

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet
Aurel8317648
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Schule, Mathematik
30.08.2021, 02:15

a)

cos x = 1

am Einheitskreis sieht man leicht

=>

x = 2 n pi mit n ............... eine ganze Zahl

also

x1 = 0

x2 = 2 pi

x3 = - 2 pi

usw.

mit der Intervalleinschränkung ist nur noch x = 0 eine Lösung

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am Taschenrechner bekommst du die 1 . Lösung:

cos x = 1

=>

x = cos^-1 (1)

=>

x = 0
Semihelpadron 
Beitragsersteller
 30.08.2021, 02:42

Danke dir, aber was meinst du mit Einheitskreis und 2 n pi?

Die 1. Lösung konnte ich jetzt zwar auch durch den TR rauskriegen, aber wie kriegt man x2 = 2 pi und x3 = - 2 pi mit dem TR raus?

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MagicalGrill  30.08.2021, 07:08
@Semihelpadron

Die Kosinusfunktion ist periodisch (ihr Graph wiederholt sich immer wieder). Das hat zur Folge, dass die Gleichung

cos(x) = 1

unendlich viele Lösungen hat (wenn sie überhaupt eine hat). Daher können wir die Lösungen nicht einfach alle nacheinander angeben: Da würden wir nie fertig.

Es stellt sich nun heraus: Wenn cos(x) = 1 ist, dann ist auch cos(x + 2pi) = 1. Und zwar ganz egal, was x genau für eine Zahl ist. Das liegt daran, dass sich die Kosinusfunktion alle 2pi Einheiten wiederholt.

Durch den Taschenrechner wissen wir, dass cos(0) = 1 ist. Durch die obige Beobachtung folgern wir, dass auch cos(0 + 2pi) = cos(2pi) = 1 ist.

Wieder durch die obige Beobachtung folgt cos(4pi) = 1, cos(6pi) = 1 usw.

In die andere Richtung geht das genauso: es gilt cos(-2pi) = cos(-4pi) = ... = 1.

Deswegen sind all diese Zahlen 0, 2pi, 4pi, 6pi, ..., -2pi, -4pi, -6pi, ... Lösungen der Gleichung.

Da aber nur Lösungen gesucht sind, die im Intervall [-pi, pi] liegen, die also zwischen -pi und pi liegen, kommt nur noch x = 0 infrage, denn etwa x = 2pi ist schon zu groß, x = -2pi ist schon zu klein.

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