Wie kann man das Volumen eines Kegelstumpf aufteilen?
Hallo, hat jemand einen Plan wie man das Volumen eines Kegelstumpf gleichmäßig aufteilt? Der Kegel ist ja Komisch geformt und wie ermittelt man, da unterschiedliche Breite, eine gleichermaßen gute Aufteilung in 2 oder 3 Teile
4 Antworten
Gegeben: Kegelstumpf mit h, r₀, r₁. ⇒ V = π/3·h·(r₀²+r₀r₁+r₁²).
Gesucht: Kegelstumpf mit h', r₀, r' und halbem Volumen.
Bestimme zuerst die Höhe H des abgeschnittenen Kegels (bei r₀<r₁):
- H/r₀ = (H+h)/r₁ ⇔ H = hr₀ / (r₁−r₀)
Alle Kegel mit diesem Öffnungswinkel haben dasselbe Verhältnis h/r. So kann man die Höhe aus dem Radius berechnen:
- h(r)/r = H/r₀ ⇔ h(r) = r·h/(r₁−r₀)
Sieht kompliziert aus, aber den Faktor h/(r₁−r₀) braucht man nur einmal zu berechnen.
Das Volumen des abgeschnittenen Kegels ist V₀ = π/3·H·r₀². Beim richtigen waagrechten Schnitt mit Schnittradius r' muss sich das um V/2 erhöhen:
- V' = V₀ + V/2 ⇔
- π/3·h(r')·r'² =π/3·H·r₀² + ½π/3·h·(r₀²+r₀r₁+r₁²) ⇔
- r'³ = r₀³ + ½·(r₀²+r₀r₁+r₁²)·(r₁−r₀)
- r'³ = r₀³ +½·(r₀²r₁+r₀r₁²+r₁³−r₀³–r₀²r₁−r₀r₁²)
- r'³ = ½·(r₀³+r₁³)
Die Schnitthöhe ist damit
- h' = ∛[½·(r₀³+r₁³)]·h/(r₁−r₀)
Ich denke nicht, dass man das noch weiter vereinfachen kann.
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Für n gleiche Teile wird der Ansatz etwas komplizierter. Hier hast Du die Gleichungen
- V' = V₀ + i·V/n, i ∈ { 1, 2, ..., n-1 }
Ich komme da auf
- rₖ³ = r₀³ + k/n·(r₁³−r₀³)
- hₖ = ∛[r₀³+k/n·(r₁³−r₀³)]·h/(r₁−r₀)
Rechne das aber lieber nochmal nach.
du willst also den stumpf der länge nach so zerschneiden, dass die zwei, drei oder 4 Stücke, die du draus machst, gleich viel wiegen? je weiter du nach oben kommst, desto länger werden sie.
du ermittelst das gesamtvolumen und teilst es durch die anzahl der stücke.
jetzt wirds tricky. da das volumen des stumpfes der durchscnittlichen fläche entspricht, also A (A1+A2)/2 brauchst du die formel nur nach A2 umstellen.
um jetzt rauszufinden, wo du den schnitt ansetzen musst, kannst du den guten alten dreisatz verwenden. nehmen wir an du schneidest einen 100 mm langen kegelstumpf, der oben 20 und unten 30 mm hat, da durch, wo der durchmesser 26 mm beträgt.
mit jedem millimeter höhe nimmt der duchmesser um 10/100 also 0,1 mm zu. dem entsprechend wäre der schnitt bei 60 mm
lg, Anna
ganz einfach du hälst dich an die Aufgabenvorgabe bastelst paar Dreiecke draus und berechnest wiederum das volumen einzeln pro ,,fach,, (also die abgetrenntenbereiche mein ich, wenn man es nur teilen will, müsste man eig nur durch 2 rechnen, das volumen würde ja im gesamten sich nich verändern an sich, nur anders verteilen im Raum.) nach bekannten Methoden.
Teile ihn über die Schnittfläche, wie einen Kuchen.
Nicht in Scheiben, in Stücke.
Die Fächer sind nicht vorgegeben nur die Maße und ich muss die Fächer herausfinden