Vollständige Induktion?

Ich soll beweisen, dass das hier für n >1 gilt. Nur finde ich das echt schwer. Ich hab meine Probleme beim vereinfachen. Könnte das einer von euch vielleicht lösen ich verstehs dann meistens schon, wenn ich sehe

Answer 1

[eterneladam]

Muss es vollständige Induktion sein oder ist das dein eigener Ansatz?

Man kann die Summanden auch als 1/(k-1)! - 1/k! sehen, es ist also eine Teleskopsumme, von der nur 1 - 1/n! stehen bleibt.

Comments

[Todaboi]

Muss vollständige Induktion sein

Answer 2

[aperfect10]

Tipp für den Induktionsschritt:

$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k!} + \frac{n}{(n+1)!}$ Und dann per Induktionsvoraussetzung:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k!} + \frac{n}{(n+1)!} = \frac{n!-1}{n!} + \frac{n}{(n+1)!}$ Und den Induktionsanfang für n = 1 bekommst Du bestimmt auch hin.

$\frac{n!n+n!-1}{(n+1)!} = \frac{n!(n+1)-1}{(n+1)!} = \frac{(n+1)!-1}{(n+1)!}$

Comments

[Todaboi]

Ja soweit bin auch gekommen das war kein Problem aber jetzt das weiter zu vereinfachen das ist mein Problem

[aperfect10]

@Todaboi

Du musst nur noch die Brüche auf einen Nenner bringen und addieren, dann kürzt sich einiges weg.

[Todaboi]

@aperfect10

dann habe ich folgendes stehen:

((n!-1)(n+1)! +n*n!)/n!(n+1)! richtig?
wo soll ich jetzt kürzen? Der Zähler ist doch eine Summe und ich sehe nichts, was ich ausklammern kann.

[aperfect10]

@Todaboi

Beachte, dass (n+1)! = n!(n+1)

[Todaboi]

@aperfect10

Bin jetzt hier angelangt wenn’s soweit richtig ist :((n!-1)(n+1)+n)/(n+1)! Den Zähler hab ich dann ausgeklammert: n!n+n!-1 und jetzt?

[aperfect10]

@Todaboi

Sehr gut, das ist richtig. Jetzt klammere noch n! im Zähler aus und wende wieder (n+1)! = n!(n+1) an, dann bist Du fertig.

[Todaboi]

@aperfect10

Hab ich dann nicht n!(n+1)-1=n!(n+1)-1

heist das ,dass man teilweise ausklammern kann ,dachte ich kann dann n! Nicht ausklammern wegen der -1

[aperfect10]

@Todaboi

Ja richtig. Schau mal, ich hab's oben ergänzt.