Verzweiflung: Extremwertaufgabe: Rechteck im Dreieck?
Hallo,
Ich verzweifle seit Stunden an einer Extremwertaufgabe und weiß nicht wo mein Fehler liegt.
Die Aufgabe lautet :
Aus einem dreieckigen Brett der nebenstehend gezeigten Form soll eine möglichst große rechteckige Platte geschnitten werden. Welchen Flächeninhalt hat diese?
Mein Lösungsweg:
Zuerst habe ich eine Skizze gezeichnet. (Für euch habe ich eine besonders schöne Skizze mit Paint gemacht.) Gegeben sind die Werte AB = 40cm und BC = 60cm
Danach habe ich die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks aufgeschrieben : A = a*b
Den Strahlensatz habe ich wie folgt gebildet:
a / AB = CP / CB = CQ / CA
Entschlossen habe ich mich a / AB = CP / CB zu verwenden.
CP = BC - b
Einfügen von BC = 60 und AB = 40 mit anschließenden Auflösen nach b:
a / 40 = 60 - b / 60 I * 60
60*a / 40 = 60 - b I - 60
( 6/ 4*a ) - 60 = -b I * (-1)
-(6/4*a) + 60 = b
Nun habe ich b in die Gleichung A = a * b eingefügt und weitergerechnet:
A = a*b
A= a * (-(6/4*a) + 60)
A = -6/4*a² + 60a I : (- 6/4)
A = a² - (4*60/6)
A = a² - 40a I quadratische Ergänzung
A = a² - 40a + 20² - 20²
A = a² - 40a + 400 - 400 I ins Binom und = 0
0 = (a-20)² - 400 I + 400
400 = (a-20)² I Wurzel ziehen
Plus Minus 20 = a-20 I +20
Plus Minus 20 + 20 = a
a1 = 40
a2 = 0
Das ist falsch, da der Definitionsbereich lautet : D= { a ist Element von den reellen Zahlen ohne 0 < x < 40}
Wo ist mein Fehler?
Ich darf nicht Ableiten und möchte es auch bevorzugt mit der Quadratischen Ergänzung lösen. Ich habe schon eine Lösung auf diese Aufgabe gefunden, jedoch verstehe ich den Lösungsweg nicht.
Bitte helft mir.
Mit lieben Grüßen Nerias
3 Antworten
du hast wo du die quadratische Ergänzung gemacht hast die Fläche A = 0 gesetzt. und die Fläche wird nunmal 0 wenn einer der faktoren a oder b = 0 ist (beim lösen der gleichung a1 und a2). ohne ableiten hätte ich keine Lösung gefunden
Hallo, danke für deine Antwort. Ist es denn überhaupt richtig A = 0 zu setzen. In meinem Schulheft wird es an einer Stelle noch ein wenig anders geschrieben, es wird geschrieben:
y = 6/4*a² + 60a I : (- 6/4)
y / (-6/4) = a² - 60* 4 / 6 a
y / (-6/4) = a² - 40a
y / (-6/4) = a² - 40a + 400 - 400 I * (- 6/4)
y = (a+20)² + 600
Bei der Aufgabe im Schulheft konnte man jetzt aus dieser Scheitelpunktsform die Lösung ablesen.
Durch andere Lösungen und eine Skizze, die ich gemacht habe, weiß ich das a = 20 und b= 30 die Lösung sein muss.
Mit freundlichen Grüßen
1. Schritt : ein x-y-Koordinatensystem im Punkt A legen
2. Schritt : die Geradengleichung aufstellen f(x)=m*x hier ist m=P/B
3. Schritt : Rechteckfläche Ar=a*b=(B-x)*f(x)=(B-x)*P/B* x
Nun eine einfache Kurvebdiskussion durchführen ,Extrema bestimmen
ergibt Ar(x)=P*x-P/B*x^2 abgeleitet
A´r(x)=0=P-2*P/B*x Nullstelle bei x=P*B/(2*P)=1/2*B
A´´(x)=0=- 2*P/B <0 also ein "Maximum"
Maximale Fläche bei Armax=1/2*P*B-P/B*(1/*B)=1/2*P*B-1/4*P*B
Prüfe auf Rechen-u.Tippfehler !
Schau mal hier :
https://youtube.com/watch?v=orBrEqcF0uY
Ist lästig, aber führt zur Lösung.
Hallo,
danke für deine Antwort. Dieses Video kenne ich. Es ist sehr gut. Mein Problem ist, dass ich nicht Ableiten darf. Ich darf nur die quadratische Ergänzung, die PQ- und die ABC-Formel verwenden.
Unter der Antwort von Solix99 habe ich einen kleinen Zusatz gepostet, vielleicht hilft der ja. Ich habe das Gefühl, dass ich ganz nah an der Lösung bin und nur noch einen kleinen Schubser von euch brauche.
Mit freundlichen Grüßen
Nerias