Wie berechnet man von einem minimales Rechteck den Umfang?
Wenn man ein Rechteck mit 400 Quatratcm Flächeninhalt hat. Wie lange sind diese Seiten, damit der Umfang des Rechtecks minimal ist???
3 Antworten
Seien a und b die Seiten des Rechtecks.
Extremalbedingung: Umfang soll minimal sein, also stellen wir die Formel des Umfangs eines Rechtecks auf.
u(a,b) = 2a + 2b
Nebenbedingung: Die Fläche des Rechtsecks soll 400 cm² sein, also stellen wir die Formel der Fläche eines Rechtecks auf und setzen diesen Flächeninhalt auf den Wert 400.
A(a,b) = a * b,
a * b = 400.
Umformen der Nebenbedingung nach b:
b = 400 / a.
Nun wird b durch 400 / a in der Extremalbedingung ersetzt, man erhält dadurch die Zielfunktion:
u(a) = 2a + 2 * 400 / a,
u(a) = 2a + 800 / a
An dieser Stelle kommt man nur noch mithilfe der Differentialrechnung weiter.
Mit u(a) = 2a + 800 a^(-1) ist dann
u'(a) = 2 - 800 a^(-2) = 2 - 800 / a²,
u''(a) = 1600 a^(-3) = 1600 / a³.
Wir suchen den Tiefpunkt der Kurve von u, also stellen wir die 1. Abelitung u'(a) auf Null:
u'(a) = 0,
0 = 2 - 800 / a²,
800 / a² = 2,
800 = 2a²,
400 = a²,
a = 20.
Einsetzen von a=20 in die 2. Ableitung ergibt
u''(a) = u''(20) = 1600 / 20³ > 0, folglich Linkskurve, also lokales Minimum in a=20.
Dann ist b = 400 / a = 400 / 20 = 20.
Die Seitenlängen des Rechtecks sind
a = 20 cm und b = 20 cm, also ist das Rechteck ein Quadrat.
Du hast die Fläche gegeben: a*b=400
Der Umfang U ist U=2a+2b; Gleichung 1 umformen, und in 2. Gleichung einsetzen, damit Du dort nur noch eine Variable hast:
=> U=2a+2*(400/a); der Umfang ist von a abhängig, also schreibst Du:
U(a)=2a+2*(400/a); das mußt Du nun ableiten, dann U'(a)=0 ausrechnen, und mit U''(a) prüfen, was für ein Extremwert es ist.
Dann wirst Du feststellen, dass ein Quadrat den geringsten Umfang hat...
Umfang ist im Rechteck 2 mal a plus 2 mal b