Extremwertaufgabe mit Dreieck?
Guten Tag Ich habe folgende Aufgabe in Mathe welche ich nicht lösen kann: Ein Quadrat ABCD hat die Seitenlänge a=10cm. Trägt man von der Ecke C auf beide Seiten jeweils die Länge x ab, so erhält man die Punkte P und Q. Für welchen Wert hat das Dreieck APQ den grössten Flächeninhalt?
Anbei habe ich noch eine Skizze
Gruss Orangeray
2 Antworten
Sei A(0 | 0), B(a | 0), C(a | a), D(0 | a), E(a | a - z), G(a - z | a)
Die Fläche F des Dreiecks AEG (keine Schleichwerbung) erhält man, wenn man
von der Quadratfläche die Fläche der Dreiecke ABE und AGD und GEC abzieht,
also F = a² - a(a - z) - ½z² = az - ½z². Aus F´(z) = 0 folgt z = a.
Die Fläche des farbigen Dreiecks ergibt sich als Differenzfläche des Quadrates und der weißen Dreiecke.
Quadrat: A1 = a²
großes weißes Dreieck: A2 = 1/2 * a * (a-x) = 1/2 a² - 1/2 ax
kleines weißes Dreieck: A3 = 1/2 x²
Die Fläche des farbigen Dreiecks ist dann:
A = A1 - 2 * A2 - A3 = a² - 2 * (1/2 a² - 1/2 ax) - 1/2 x² =
a² - a² + ax - 1/2 x² = ax - 1/2 x²
Wir betrachten also die Funktion
A(x) = ax - 1/2 x²
Weil A eine quadratische Funktion ist, deren Schaubild eine nach unten geöffnete Parabel ist, bestimmen wir den Scheitelpunkt der Parabel, denn dann wissen wir auch das Maximum.
A(x) = - 1/2 x² + ax = - 1/2 * ( x² - 2ax ) =
- 1/2 * ( x² - 2* x * a + a² - a² ) = - 1/2 * ( ( x - a )² - a² ) =
- 1/2 ( x - a )² + 1 / 2 a²
Dann ist der Scheitelpunkt bei S( a | 1/2 a² ).
Für x = 10 cm wird also die Fläche des farbigen Dreiecks maximal.
Dementsprechend wird das Quadrat halbiert.