Verwandle in ein Produkt
Also wir haben neulich eine Mathearbeit geschrieben. Ich hab voll verkackt und Checks immer noch nicht. Doch jetzt steht noch die Berichtigung an. Den Großteil hab ich mir von einer guten Schülerin schicken lassen aber die Aufgabe hat sie auch nicht! Die Aufgabe lautet: 225x hoch 2 - 1 = und dann muss da so ein Term hin. Die anderen zu 100% richtigen Aufgaben sind: a) a hoch 2+18az+81z hoch 2= (a+9z) hoch 2 und b) x hoch 2-14x+49= (x-7) hoch 2. Bitte nur hinschreiben wer das wirklich weiß. Danke schön mal im Voraus.
6 Antworten
Meistens kennt man ja seine Binomischen Regeln, weil man sie von links nach rechts gelernt hat. Doch nach einigen Wochen (und dann für Jahre bis zum Abitur) gibt es die Aufgaben immer wieder von rechts nach links.
Also aufpassen!
Findet man zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen, müssen sofort die Alarmglocken läuten. Das ist die 3. Binomische Regel1
x² - y² = (x + y) * (x - y).
Sieht man drei Terme hintereinander, von denen der erste und der dritte ein Quadrat ist, ist dort mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ein 1. oder 2. Binom versteckt. Dann aus den beiden (wenn es geht, im Kopf) Wurzeln ziehen, multiplizieren und noch mal 2. Ist das Produkt gleich dem Mittelglied, hat sich der Verdacht bestätigt. Vorzeichen vom Mittelglied übernehmen!!
x² ± 2xy + y² = (x ± y)²
Da hier noch einige schöne Sachen versammelt werden, trage ich mal mit der Fünferregel dazu bei. Funktioniert durch die erste Binom. Regel:
Wie quadriert man eine Zahl mit der letzen Ziffer 5?
Lösung: Ziffer(n) vor 5 multiplizieren mit ihrem Nachfolger und 25 anhängen. Fertig.
Beispiel: 45²
4 nehmen
mal 5 (eins mehr)
20 schreiben (nicht sagen! das führt zu Irrtümern!)
25 anhängen
ergibt 2025
Auch das geht rückwärts:
Findet man ein Produkt mit dem Aufbau n * (n+1) und eine 25 dahinter, handelt es sich um das Quadrat der Ziffernfolge n 5.
Beispiel: Vorliegende Zahl 72 25
Ist 8 * 9
also das Quadrat von 85
... fehlt noch, wie du "drauf kommst", dass 225 = 15².
Was spielte sich in meinem Kopf ab, als ich die Aufgabe sah?
Ich weiß
- 1 * 25 = 25,
- 2 * 25 = 50,
- 3 * 25 = 75,
- 4 * 25 = 100
im Kopf. Erstens ist das auch praktisch für die Prozentrechnung, denn
- 25% = 25/100 = 1/4;
- 50% = 50/100 = 2/4 = 1/2
- 75% = 75/100 = 3/4
Zweitens kann ich so alle praktisch vorkommenden Vielfachen x * 25 einfach im Kopf berechnen, indem ich x mit Rest durch 4 teile, denn
- 5 * 25 = (4 +1) * 25 = 125;
- 6 * 25 = (4 +2) * 25 = 150;
- 7 * 25 = (4 +3) * 25 = 175;
- 8 * 25 = 2 * 4 * 25 = 200
und immer so weiter.
. . .
Allgemeine Formulierung:
x geteilt durch 4 gibt n Rest r ⇒
x * 25 = (4n +r) * 25 = 100n + 25r
. . .
Für die Aufgabe gab das her:
- 225 hat doch "25" hinten - plink, auffällig, da ist was, Aufmerksamkeit! - , denn dann geht das durch 25,
- 225 - 25 = 200
- In 200 = 2 * 100 geht fünfundzwanzig 2 * 4mal hinein, also 8mal,
- also geht fünfundzwanzig 9-mal in 225.
(Zeitdauer des "Sehens": ca. 1 Sekunde)
. . .
9 und 25 sind aber Quadratzahlen - plink, auffällig, da ist was, Aufmerksamkeit! - , also 225 auch... ähm: Quadrat von was?
225 = 9 * 25 = 3³ * 5² = (3 * 5)² = 15².
(Zeitdauer der Überlegung: ca. 2 Sekunden; "Umstellen von Primfaktoren" dauert bei mir vergleichsweise lang im Kopf)
. . .
Also hat der Term die Form "Quadratzahl minus Quadratzahl", und das geht immer mit 3. binomischer Formel.
(Zeitdauer des "Sehens": ca. 0,5 Sekunden).
usw. (hinschreiben)
Nach der 5-er.Regel erkenne an 225 Folgendes:
2 ist 1 * 2, also kann es nur das Quadrat von 15 sein (falls man die Quadrate bis 25 nicht ohnehin im Kopfhat, was ich immer sehr empfehle).
Dritte binomische Formel: 225x²-1=(15x+1)(15x-1)
225x² – 1 = (15x – 1)·(15x + 1)
(3. binomische Formel)
Ene mene Mathemann,
wende binomische Formeln an.
Du schaffst den Spagat,
machst du dir klar, dass 225 = 15 zum Quadrat.
Ist dir das noch nicht genug,
beendest du mit 15²x² = (15x)² den Spuk.