Hat ein Hoch/Tiefpunkt immer eine waagerechte Tangente?
Hi, ich habe eben eine Matheaufgabe gelöst. In der Aufgabe stand folgendes:
Der Graph hat bei x_1 = 2 eine waagerecht Tangente.Ich habe den Term dazu erstellt. Als ich ihn in GeoGebra eingegeben habe, war an der Stelle ein Hochpunkt.
Hat ein Hoch/Tiefpunkt immer eine waagerechte Tangente, bzw. ist das so richtig?
7 Antworten
Hallo!
Ja, ein Hochpunkt hat immer eine Waagerechte Tangente. Anders herum ist es aber nicht so, dass eine waagerechte Tangente immer einen Hoch/Tiefpunkt markiert. Stell dir die Funktion y = 3 vor. Der Anstieg ist gleich null. Damit ist es egal an welchen Punkt der Funktion du eine Tangente anlegst, sie wird immer waagerecht sein.
Die Idee mit dem Hoch/Tiefpunkt müsste meines Wissens nach auch für Sattelpunkte gelten.
Ich hoffe ich konnte zum Verständnis beitragen
Aber ist bei y=3 nicht jeder Punkt ein Hochpunkt und jeder Punkt ein Tiefpunkt? Es gibt ja eine eine Umgebung um jeden Punkt, in der es keine größeren (/kleineren) Werte gibt.
Okey, im allgemeinen spricht man von Hoch- / Tiefpunkten, wenn alle Werte in einer Umgebung kleiner (/größer) sind. Gleich zählt nicht. (gerade nachgeschaut)
Um der Verwirrung etwas zu begegnen, die die verschiedenen Antwort gestiftet haben könnten:
Wenn eine Funktion f(x) für alle x in einem offenen Intervall I differenzierbar ist ( = dort eine Ableitung hat), und
wenn sie an einer Stelle x ∈ I ein lokale Extremum ( = Hoch- oder Tiefpunkt) hat,
dann hat sie an dieser Stelle x eine waagrechte Tangente.
Aber:
(1) Die Umkehrung gilt nicht. Wenn eine solche Funktion der Stelle x ∈ I eine waagrechte Tangente hat, muss sie dort kein Extremum haben. Sie kann dort auch einen Sattelpunkt haben (siehe Liquice)
(2) Wenn die Funktion in an (mindestens) einer Stelle in I differenzierbar ist, lässt sich an dieser Stelle auch keine Tangentensteigung definieren. Trotzdem kann die Stelle ein Extremum sein (siehe Beispiele Suboptimierer)
Mist es, muss unter (2) heißen:
"Wenn die Funktion an (mindestens) einer Stelle in I nicht differenzierbar ist, (...)"
Ein Funktionsgraph G_f für eine stetig differenzierbare Funktion f: D[f]->Bild[D[f]] ist definiert als diejenige Teilemnge G_f von R^2, für die gilt,
G_f:={(x,y,) in R^2| x in D[f]: y = f(x)}.
Für die Existenz eines Extremums von f an der Stelle x_0 in D_f ist es notwendig, dass gilt df/dx(x=x_0)=0. Geometrisch bedeutet dass für die (stetig diff.-bare) Kurve,
g: D[f]->G_f Teilemnge R^2, x |->(x,f(x)),
an einem Extremum gilt,
t:=dg/dx(x=x_0)/(|dg/dx|) = (1,0).
Verwendet wurde (Sinnvolle Differenzierbarkeitseigenschaften auf einem sinnvollen Definitionsbereich D[f] + Extremum existent bei x_0).
Die Aussage 'Sinnvolle Diff.-Egscht + sinnvolles Intervall + waagrechte Tangente=> lokales Extremum' gilt nicht, da die Schlussfolgerung für die Beispiele y=c, y=x^3 bei x_0=0 automatisch ein falsches Ergebnis lieferte.
VG, dongodongo.
Ne, ein Tief- (Hoch-) Punkt (lokales Extremum) hat nicht immer eine waagerechte Tangente. Beispiel: f(x) = |x| oder nimm eine Funktion, die nur für einen x-Wert definiert ist.
Ja, denn am Hoch/Tiefpunkt steigt oder fällt ja nichts mehr. Und die Tangente beschreibt eine Steigung. Die Steigung am Hoch-oder Tiefpunkt ist also null.