Vektoren- Würfel?

Hey, Ich sitze hier schon echt lange dran.Kann mir bitte jemand helfen?

Ich brauche nur eine Erklärung oder ein Lösungsansatz, ich möchte es gerne verstehen. Es handelt sich um Aufgabe 9.

Answer 1

[Hamburger02]

Bei der Benennung der Punkte und Kanten orientiere ich mich an diesem Bild:

In der Aufgabe sind also der Punkt A sowie mit den anderen Punkten indirekt die Kanten a1, b2 sowie h1 gegeben.

a1 = AB = B - A = (4/4/2)
b2 = AD = D - A = (2/-4/4)
h1 = AE = E - A = (-4/2/4)

Nun können wir die Grundfläche vervollständigen. Dabei entscheidend ist, dass alle anderen Kanten parallel zu den obigen sind und auch gleich lang. Das bedeutet, die Kanten haben dieselben Vektorkoordinaten, sind lediglich in einen anderen Punkt verschoben, was ja mit Vektoren möglich ist, ohne dass sich an ihren Koordinaten etwas ändert.

Daher konstruieren wir zuerst die Grundfläche fertig:
b1 = b2 = (2/-4/4)

Daraus ergibt sich der Punkt C:
C = B + b1 = (10/5/9)

Außerdem gilt:
a4 = a1 = (4/4/2)
b1 = b2 = (2/-4/4)

So, nun gehts an die obere Fläche:

a1 = a2 = (4/4/2)
F = E + a2 = (4/11/9)

b4 = b2 = (2/-4/4)
G = F + b4 = (6/7/13)

b3 = b2 = (2/-4/4)
H = E + b3 = (2/11/3)

a3 = a1 = (4/4/2)

Jetzt fehlen uns nur noch 3 senkrechte Kanten.

für die gilt:
h1 = h2 = h3 = h4 = (-4/2/4)

Und damit wäre Aufgabe a erledigt. Im 3D-Koordinatensystem sieht das dann so aus:

Aufgabe b)

Kantenlänge = Betrag Vektor a1:

Die Raumdiagonale ist der Vektor AG:
AG = G - A = (2/2/13)

...aber bitte alles nachrechnen.

Answer 2

[Mathetrainer]

$l=\left|\overrightarrow{\left\{AG\right\}}\right|=\sqrt{10^2+12^2+8^2}=\sqrt{308}$ Von der Grundfläche fehlt dir der Punkt C. Den rhältst du wie folgt:

$\overrightarrow{\left\{OC\right)}=\overrightarrow{\left\{OB\right\}}+\overrightarrow{\left\{AD\right\}}$ $\overrightarrow{\left\{AD\right\}}=\left(6-4\right|1-5\left|7-3\right)^T=\left(2\right|-4\left|4\right)^T$ $\overrightarrow{\left\{OC\right\}}=\left(8\right|9\left|5\right)^T+\left(2\right|-4\left|4\right)^T=\left(10\right|5\left|1\right)^T$ Der Punkt E liegt über dem Punkt A. Damit wird

$\overrightarrow{\left\{OF\right\}}=\overrightarrow{\left\{OB\right\}}+\overrightarrow{\left\{AE\right\}}$ $\overrightarrow{\left\{AE\right\}}=\left(0-4\right|7-5\left|7-3\right)^T=\left(-4\right|2\left|4\right)^T$ $\overrightarrow{\left\{OF\right\}}=\left(8\right|9\left|5\right)^T+\left(-4\right|2\left|4\right)^T=\left(4\right|7\left|1\right)^T$ $\overrightarrow{\left\{OG\right\}}=\overrightarrow{\left\{OC\right\}}+\overrightarrow{\left\{AE\right\}}=\left(10\right|5\left|1\right\}^T+\left(-4\right|2\left|4\right)^T=\left(6\right|7\left|5\right)^T$ dto. für H

Die Diagonale ist die Strecke von A nach G

$\overrightarrow{\left\{AG\right\}}=\left(6\right|7\left|5\right)^T+\left(4\right|5\left|3\right)^T=\left(10\right|12\left|8\right)^T$ Die Länge der Diagonalen ist dann:

Answer 3

[Rhenane]

Die Ecken eines Würfels (Quaders) werden ja wie folgt bezeichnet: "Boden" A, B, C, D gegen den Uhrzeigersinn und "Decke" E, F, G, H ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn mit dem "E über dem A".

Mi den gegebenen Ecken A, B, D und E hast Du auch die Seiten (Vektoren) AB, AD und AE (immer Koordinaten rechter Punkt minus Koordianten linker Punkt).

D. h. Du kennst den Vektor AD. Und AD ist parallel zu BC, d. h. gehst Du von B diesen Vektor lang, landest Du bei C. EH ist parallel zu AD, d. h. E+Vektor AD=H.

Die Strecke AE ist parallel zu BF, CG und DH...

Kantenlänge und Länge der Raumdiagonale sind ja sicher (hoffentlich) kein Problem.