Vektoraufgabe Oktaeder in Würfel?
Die Aufgaben lautet:
Fig.3 zeigt einen Würfel und einen einbeschriebenen Oktaeder. Die Ecken des Oktaeders sind die Schnittpunkte der Diagonalen der Seiteflächen des Würfels.
a)
Stellen Sie die Vektoren a, b und c jeweils als Linearkombination der Vektoren u, v und w dar.
b) Bestimmen Sie mögliche Eckpunkte des Oktaeders, wenn der Würfel eine Ecke im Ursprung und die Kantenlänge 6 hat
c) Berechnen Sie das Volumen des Oktaeders aus Aufgabenteil b)
Bei a) hab ich als Lösung (1/2u)-(v)+(1/2w)=a
(1/2u)+(1/2w)=b
(w)-(1/2v)+(1/2u)=c
Ich wollte fragen, ob meine Lösung richtig ist und wenn nicht, was ist die Lösung und wie seid ihr darauf gekommen? Ich habe die Aufgabe auch in einem anderen Forum gesehen aber ich verstehe nicht wie die auf die Lösung gekommen sind.
Bei b komme ich auch nicht weiter
Danke schon einmal für eure Hilfe
2 Antworten
Vielleicht hilft es, den Koordinatenursprung in den gemeinsamen Startpunkt von u, v und w zu legen und die x-, y- und z-Achse entlang u, v und w zu definieren, mit den Längen von u, v und w jeweils als 1 gewählt. Dann sind die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte von a, b und c leicht abzulesen und die Koordinaten liefern unmittelbar die Linearkombinationsdarstellung in u, v und w.
Zu b): das ergibt sich mit obigem Verfahren sofort durch Multiplikation aller Koordinaten mit 6.
Zu a): die Vektoren a, b und c stehen jeweils auf einem der "Achsenvektoren" senkrecht, d. h. sie sind parallel zu einer der "Koordinatenflächen" des Würfels. Ihre Anfangs- und Endpunkte haben offensichtlich Koordinaten, die allesamt entweder 0 oder 1/2 oder 1 sind.
a geht im (u,v,w)-System von ( 0 | 1/2 | 1/2 ) nach ( 1/2 | 0 | 1/2 )
( 1/2 | 0 | 1/2 ) - ( 0 | 1/2 | 1/2 ) = ( 1/2 | -1/2 | 0 )
Daraus kann man ablesen: a = 1/2 u - 1/2 v + 0 w
usw.
Nein, die "Lösung" ist nicht richtig
Der Vektor a ist parallel zur Ebene uv, er hat also keine Komponente in Richtung w. Analoges gilt für b und c.
was wäre denn die lösung von a