Unterschied zwischen quadr. Pyramide und quadr. Pyramide mit Kantenlänge a?
Unser Lehrer hat uns ein Blatt mit Formeln gegeben und hier steht für die beiden oben genannten Pyramiden verschiedene Formeln:
Quadr. Pyramide: V=1/3* a^2* h
Quadr. Pyramide mit kantenlänge a:
V= 1/3* a^3* WURZEL 1/2
Ich verstehe jetzt nicht was an den beiden Pyramiden anders ist und warum die Gleichung anders ist. Kann mir das vielleicht einer erklären?
3 Antworten
Im ersten Fall hat das Quadrat (die Grundfläche) Seitenlänge a und die Pyramide hat die Höhe h (Abstand Grundfläche - Spitze).
Im zweiten Fall hat das Quadrat wieder die Seitenlänge a aber diesmal wissen wir, dass die Seitenflächen gleichseitig sind, also die Verbindungsstrecken zwischen Spitze und den Quadratecken auch die Länge a haben.
Mache dir am besten eine Skizze und zeichne alles ein, sonst ist es vielleicht etwas schwierig sich das vorzustellen!
quad.Pyramide allgemein:
Hier ist die Grundfläche ein Quadrat. die Höhe und die Kanten, die zur Pyramidenspitze führen sind nicht näher definiert. Daher gilt hier die Allgemeine Formel:
V=1/3* A* h
Hier ist A die Grundfläche, daher a^2 vom Quadrat
Bei Kantenlänge a jedoch sind alle Kanten gleichlang. Daher kann man für die Höhe h einsetzen: a*Wurzel(1/2)=h über Pythagoras:
a^2=h^2*h^2 h=Ankathete und auch Gegenkathete
a^2=2*h^2 durch 2 teilen
0,5*a^2=h^2 Wurzel ziehen
a*Wurzel(0,5)=h
Alles in der Volumenformel eingesetzt ergibt das deine Formel! :D
Die zweite Formel steht für eine Pyramide, bei der die vier Dreiecke gleichseitig sind.
Die Formel lässt sich auch durch doppeltes Anwenden des Satzes von Pythagoras herleiten.
h=sqrt((sqrt(a²-(a/2)²)²-(a/2)²)=sqrt(a²-2(a/2)²)=a*sqrt(1-2/2²)=a*sqrt(1/2)
Wenn man das in die allgemeine Formel V=1/3*a²*h einsetzt, erhält man
V=1/3*a²*a*sqrt(1/2)=1/3*a³*sqrt(1/2)
Danke, jetzt hab ich es verstanden. :)