unterschied kontra und kovarianz
heyho, ich verstehe den Unterschied zwischen kovarianz und kontravarianz bei den vierervektoren in der speziellen Relativitätstheorie nicht.
gruß
4 Antworten
Die Ko- bzw. Kontravraianz bezieht sich auf die Stellungen der Indizes in der Physik. Grundsätzlich geht es darum, dass n-Formen n-fach ein kovariantes Transformationsverhalten haben. n-Felder hingegen (1-Feld = Vektorfelder) ein kontravriantes Transformationsverhalten.
X = X^u\partial_u, wobei \partial_u die Basis-vektoren an dem betrachteten Punkt der Raumzeit sind. Für n-Formen, \omega = \omega_u dx^u bedeutet das, dass eine n-Form (n-fach kontravriant) mit genau n-fach kovariant kontrahiert werden muss, um einen (0,0)-Tensor (Skalar) herauszubekommen.
Der Unterschied liegt nun darin, dass beim Wechsel in ein anderes Kartensystem, d.h., eine Koordinatentranformation, die Transformationsmatrix \Lambda(x->y) := \dfrac{partial\left\lbrace y\right\rbrace}{\partial\left\lbrace x \right\rbrace} entsprechend so im transformierten Term auftritt, dass der Tensor im neuen Koordinatensystem strukturell invariant bleibt, s. PhotonX'-Beitrag.
D.h.,
\omega(x)=\omega_u(x)dx^u = \omega(x(y))= \omega_u(x(y))\Lambda(x->y)^u_vdy^u = \omega(y),
unter Ausnutzung der Multidimensionalen Kettenregel in lokaln Koordinatensystem.
Analog:
X(x)=X^u\partial_u(x) = X(x(y))=X^u(x(y))\Lambda(x->y)^{-1}_u^v\partial_v(y),
analog zu oben. Ich habe hier unterstellt, dass ein TensorFELD betrachtet wird, d.h., dass ich davon ausgehen kann, dass die Reihenstellung der ko- und kontravarianten Indizes egal ist. In ganz generischen Fall kann das durchaus einen Unterschied ausmachen... (s. Jänich, Vektoranalysis, letztes Kapitel).
VG, dongodongo.
ka ob gutefrage nen formeleditor hat aber bei mir funktionierts dann wohl nicht :D, p.s. mir ist immer noch nicht ganz klar wie ich festmache ob etwas ko oder kontravariant ist, bzw wo dann effektiv der physikalische unterschied ist, sie transformieren anders, ja aber wie anders, und was bewirkt das.
gruß
Nein, bezweckt war, herauszustellen, dass kontravariant und kovariant in der Notation anders festgehalten werden, und sich nach Definition der entsprechenden ko-/kontravarianten Objekte eben andere Folgerungen für den Kalkül ergeben.
Der Unterschied liegt in den Transformationseigenschaften: Die einen transformieren sich mit der Jakobi-Matrix: A^µ -> J^µ_vA^v. Die anderen transformieren sich mit der inversen Jakobi-Matrix: A_µ -> (J^-1)_µ^vA_v. Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Vierervektor#Ko-_und_kontravariante_Vektoren
Unabhängig von der Relativitätstheorie kannst du immer davon ausgehen, dass der Präfix ko bzw. kon "mit" bedeutet und kontra "gegen", wobei ja auch das Invers eines Elements so zu sagen sein Gegenstück ist.
Neben ko, kon, kontra findest du oft auch die alten (noch lateinischeren Formen
*co, con, contra".
Kovariant: (a°, - a^1, - a², - a³), kontravariant: (a°, a^1, a², a³)
Wow!