Ungleichung?

Seien a,b,c positive reelle zahlen und a+b+c=z
Kann man vielleicht a/bc+b/ac+c/ab nach oben in abhängigkeit von z abschätzen.

Comments

[Tannibi]

Da gibt es kein x.

[FireFoxpi]

ich meine z

Answer 1

[mihisu]

Nein. Der Term a/(bc)+b/(ac)+c/(ab) ist nach oben unbegrenzt.

Betrachte beispielsweise die Werte entlang der Kurve...

$(a, b, c)=(t, \frac{z-t}{2}, \frac{z-t}{2})\quad \text{ mit }t\in\left]0, z\right[$

Dort ist...

$\frac{a}{b\cdot c}+\frac{b}{a\cdot c}+\frac{c}{a\cdot b}$

$=\frac{t}{\frac{z-t}{2}\cdot \frac{z-t}{2}}+\frac{\frac{z-t}{2}}{t\cdot \frac{z-t}{2}}+\frac{\frac{z-t}{2}}{t\cdot\frac{z-t}{2}}$

$=\frac{4\cdot t}{\left(z-t\right)^2}+\frac{1}{t}+\frac{1}{t}$

$=\frac{4\cdot t}{\left(z-t\right)^2}+\frac{2}{t}$

Für t → 0 erhält man dann beispielsweise...

$\overbrace{\frac{4\cdot t}{\left(z-t\right)^2}}^{\to 0}+\overbrace{\frac{2}{t}}^{\to \infty}\xrightarrow{t\to 0}\infty$

Allgemeiner: Wenn man a oder b oder c gegen 0 laufen lässt (unter Beachtung der Nebenbedingungen a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c = z möglich), so divergiert dort der Term gegen unendlich.

Comments

[eterneladam]

Nett. (z-t)² im Nenner, macht aber keinen Unterschied.

[mihisu]

@eterneladam

Danke. Stimmt. Da hatte ich ein Quadrat vergessen.